C*代數

C*代數是巴拿赫代數中的一種特殊代數。

基本介紹

• 中文名：C*代數
• 外文名：C*-algebra
• 所屬學科：巴拿赫代數

簡介

非交換C*代數對應拓撲空間的非交換推廣，對非交換C*代數的分類對應代數拓撲的非交換推廣。單C*代數完全由其K理論確定。

定義

C*代數是一個巴拿赫*代數，且關於中每個元a滿足

性質

以下設為C*代數。

對中每個元a有,

且

同構於的C*子代數

若含單位元，則中任意自伴元x的譜為實的。

若含單位元，B為的C*子代數且含有中單位元。則對B中任意點x，。

若為上另一個巴拿赫代數的範數，且滿足。則。這說明一個含對合的復代數只有最多一種方法構造C*代數。

設為交換代數，則中元為正規元。故譜半徑r(x)=。

的*同態的範數最多為1。

例子

設為希爾伯特空間，以運算元的伴隨為對合，上有界運算元的集合的子代數若關於範數與對合也是閉的，則為C*代數，稱為運算元C*代數；

上緊運算元的集合為C*代數，但當為無限維時，不含單位元。

若X為緊豪斯多夫空間，以函式的共軛為對合，X上連續函式集C(X)為C*代數；

若(X,Ω,μ)為σ有限測度空間，以函式的共軛為對合，L(X,Ω,μ)為C*代數。

若X為非緊的局部緊空間，以函式的共軛為對合，X上在無窮遠消失的連續函式集C₀(X)為不含單位元的C*代數。

理想與商代數

設A為C*代數，J為A的理想。

1.A為自伴元。

2.商代數A/J為C*代數。

表示

C*代數A的表示為*同態。

定義L_a:A→A為L_a(x)=ax。定義為ρ(a)=L_a。則ρ為左正則表示。

若π有平凡零空間，則稱為非退化表示或忠實表示。若無非平凡不變子空間，則稱為不可約表示。

設ξ為C*代數的子空間M的一個矢量，若M=[ξ]，則M稱為循環子空間，稱為循環表示。則為非退化表示，若且唯若能分解為正交循環子空間族。

相關定理

Gelfand-Naimark定理

定義

設A為含單位元的交換C*代數，X=sp(A)為其蓋爾范德譜。則蓋爾范德映射Γ為A到C(X)的等距*同構。

推導

A中元T=H+iK，其中H與K均為自伴元，故擁有實譜，故Γ(H)與Γ(K)為實的。故有

故Γ為*映射。

由斯通-魏爾斯特拉斯定理，可知Γ為滿射。故Γ為等距同構。

綜上，Γ為A到C(X)的等距*同構。

若A為不含單位元的交換C*代數，則可推廣該定理，只是X改成局部緊豪斯多夫空間，C(X)改為在無窮遠處消失的函式代數C₀(X)。

譜定理

設為希爾伯特空間，T為中的正規運算元，T的譜σ(T)=X。則由T與單位元生成的C*代數為交換代數，且的蓋爾范德譜與T的譜拓撲等價，故蓋爾范德映射是到C(X)的等距*同構。

譜映射定理

設A為含單位元的C*代數，a為A的正規元，則對C(σ(a))中的每個f，有σ(f(a))=f(σ(a))。