局部緊空間

局部緊空間

局部緊空間(locally compact space)是一類拓撲空間。設X是拓撲空間,若X的每一點都有一個緊鄰域,則稱X為局部緊空間。緊空間是局部緊空間,反之不然。歐幾里得空間R不是緊空間,但是,R是局部緊空間。離散空間是局部緊空間。局部緊的T2空間是完全正則空間。局部緊性是閉遺傳的。局部緊空間的連續像未必是局部緊的。有限個局部緊空間的積仍為局部緊空間。

基本介紹

  • 中文名:局部緊空間
  • 外文名:locally compact space
  • 所屬學科一般拓撲學
  • 本質:拓撲空間
  • 相關詞:強仿緊空間
  • 實例:緊空間、離散空間
定義,性質,例子,相關概念,局部緊性質,拓撲空間,

定義

拓撲空間X的每一點都有一個緊鄰域,則稱X為局部緊空間

性質

緊空間是局部緊空間,反之不然。
拓撲流形為局部緊空間。
離散空間是局部緊空間。
兼為局部緊空間與T2空間完全正則空間
局部緊性是閉遺傳的。
局部緊空間的連續像未必是局部緊的。
有限個局部緊空間的積仍為局部緊空間。
任何局部緊空間X都能嵌入緊空間Y,Y只比X多一個點,且X作為Y子空間而獲得的子空間拓撲與原來的拓撲一致,此時Y稱為X的一點緊化。若X為局部緊豪斯多夫空間,則X的一點緊化為緊豪斯多夫空間

例子

歐幾里得空間R是局部緊空間。

相關概念

定義1:空間X稱為i-型局部緊空間(i=1,2,3),是指它滿足下面的條件:
1)X中每一點都有一個緊鄰域;
2)X中每一點都有一個緊鄰域基;
3)X中每一點x的任意一個鄰域U包含一個開鄰域V,使得V U,且V是緊的.
定義2:空間X稱為i-型局部強仿緊空間(i=1,2,3),是指它滿足下面的條件:
1)X中每一點都有一個強仿緊鄰域;
2)X中每一點都有一個強仿緊鄰域基;
3)X中每一點x的任意一個鄰域U包含一個開鄰域V,使得V U,且V是強仿緊的.
定義3:在空間X中,Y是X的子集。若Y作為X的子空間是強仿緊空間,則稱Y是X的強仿緊子集。顯然強仿緊空間必是1-型局部強仿緊空間,因為強仿緊空間本身是它的任何一點的強仿緊鄰域。由定義2可知,三者之間的關係:3-型局部強仿緊空間是2-型局部強仿緊空間,2-型局部強仿緊空間是1-型局部強仿緊空間。

局部緊性質

定義1:拓撲空間 X稱為局部可數緊空間,是指X中任意點都有一個可數緊鄰域,即每一點x∈ X,都存在一個鄰域使其每一可數開覆蓋都有有限子覆蓋,顯然可數緊空間是局部可數緊的。
定義2:拓撲空間X稱為鄰域局部緊空間,是指X中每一點x∈ X的任意鄰域U∈ u,都有一個緊鄰域V,使得X
U。
下面結果都是顯然的。
定理1:鄰域局部緊空間是局部緊空間,是可數局部緊空間。
定理2: 3-型局部緊空間是2-型局部緊空間,2-型局部緊空間是局部緊空間。
這是因為對任意 x∈ X, U∈ u都有開鄰域V,使得V
V
Ux,且V是緊的,且顯然V是點x的鄰域,並且其全體是點x的緊鄰域基。
明顯地有:
定理3:拓撲空間X是鄰域局部緊的若且唯若x是2-型局部緊的。
定理4:局部緊的正則空間X是2-型局部緊空間,是3-型局部緊空間。
推論1:局部緊的豪斯多夫空間都是2-型局部緊空間,都是3-型局部緊空間。
推論2:局部緊的完全正則空間都是2-型局部緊空間,都是3-型局部緊空間。
定理5:任一緊覆蓋族都是局部有限的半緊空間X都是局部緊空間。
定理6:任一緊覆蓋族都是局部有限的σ緊空間X都是局部緊空間。
定理7:半緊空間是σ緊空間。
定理8:設X和Y為拓撲空間,f∶X→Y是連續開滿映射,X是鄰域局部緊的,則Y是鄰域局部緊的。
定理9:設X,Y為拓撲空間,X是局部可數緊的,f∶X→Y是連續開滿映射,那么Y是局部可數緊的。
定理10:在拓撲空間X中,有:
(1)局部可數緊空間是局部列緊空間。
(2)局部列緊的T1空間是局部可數緊的。
(3)局部序列緊的是局部可數緊的。
(4)局部可數緊的A1空間是局部序列緊的。
從而,有X是局部可數緊的若且唯若X是局部列緊的若且唯若X是局部序列緊的。

拓撲空間

設X是一個非空集合,X的冪的子集(即是X的某些子集組成的集族)T稱為X的一個拓撲。若且唯若:
1.X和空集{}都屬於T;
2.T中任意多個成員的並集仍在T中;
3.T中有限多個成員的交集仍在T中。
稱集合X連同它的拓撲τ為一個拓撲空間,記作(X,T)。
稱T中的成員為這個拓撲空間的開集
定義中的三個條件稱為拓撲公理。(條件(3)可以等價的換為τ中兩個成員的交集仍在τ中。)
從定義上看,給出某集合的一個拓撲就是規定它的哪些子集是開集。這些規定不是任意的,必須滿足三條拓撲公理。
一般說來,一個集合上可以規定許多不相同的拓撲,因此說到一個拓撲空間時,要同時指明集合及所規定的拓撲。在不引起誤解的情況下,也常用集合來代指一個拓撲空間,如拓撲空間X,拓撲空間Y等。
同時,在拓撲範疇中,我們討論連續映射。定義為:f: (X,T1) ------> (Y,T2) (T1,T2是上述定義的拓撲)是連續的若且唯若開集的原像是開集。兩個拓撲空間同胚若且唯若存在一一對應的互逆的連續映射。同時,映射同倫和空間同倫等價也是很有用的定義。

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