基本介紹
- 中文名：映射
- 外文名：mapping
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：數理科學
- 詞性：名詞
定義,成立條件,個數關係,分類,套用,
定義
兩個非空集合A與B間存在著對應關係f，而且對於A中的每一個元素x，B中總有有唯一的一個元素y與它對應，就這種對應為從A到B的映射，記作f：A→B。其中，b稱為元素a在映射f下的象，記作：b=f(a)。a稱為b關於映射f的原象。集合A中所有元素的象的集合稱為映射f的值域，記作f(A)。
或者說，設A,B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關係f，使對於集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一的元素y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射。
映射在不同的領域有很多的名稱，它們的本質是相同的。如函式，運算元等等。這裡要說明，函式是兩個數集之間的映射，其他的映射並非函式。一一映射(雙射)是映射中特殊的一種，即兩集合元素間的唯一對應，通俗來講就是一個對一個（一對一）。
注意：(1)對於A中不同的元素，在B中不一定有不同的象；（2）B中每個元素都有原象（即滿射），且集合A中不同的元素在集合B中都有不同的象（即單射），則稱映射f建立了集合A和集合B之間的一個一一對應關係，也稱f是A到B上的一一映射。
成立條件
映射的成立條件簡單的表述就是：
2．對應的唯一性：定義域中的一個元素只能與映射值域中的一個元素對應
個數關係
集合AB的元素個數為m,n,
那么，從集合A到集合B的映射的個數為
。
函式和映射，滿映射和單映射的區別。
函式是數集到數集映射，並且這個映射是“滿”的。
即滿映射f: A→B是一個函式，其中原像集A稱做函式的定義域，像集B稱做函式的值域。
“數集”就是數字的集合，可以是整數、有理數、實數、複數或是它們的一部分等等。
“映射”是比函式更廣泛一些的數學概念，它就是一個集合到另一個集合的一種確定的對應關係。即，若f是集合A到集合B的一個映射，那么對A中的任何一個元素a，集合B中都存在唯一的元素b與a對應。我們稱a是原像，b是像。寫作f: A→B，元素關係就是b = f(a).
一個映射f: A→B稱作“滿”的，就是說對B中所有的元素，都存在A中的原象。
在函式的定義中不要求是滿射，就是說值域應該是B的子集。（這個定義來源於一般中學中的講法，實際上許多數學書上並不一定定義函式是滿射。）
原象集中不同元素的象不同的映射稱為單射 ：若A中任意兩個不同元素x1≠x2,它們的像f(x1)≠f(x2)，則稱f為A到B的單射，強調f(A)是B的子集。
單射和滿射可共同決定為一一雙射。
分類
映射的不同分類是根據映射的結果進行的，從下面的三個角度進行：
1．根據結果的幾何性質分類：滿射（到上）與非滿射（內的）
2．根據結果的分析性質分類：單射（一一的）與非單射
3．同時考慮幾何與分析性質：滿的單射（一一對應）。
套用
在很多特定的數學領域中，這個術語用來描述具有與該領域相關聯的特定性質的函式，例如，在拓撲學中的連續函式，線性代數中的線性變換等等。在形式邏輯中，這個術語有時用來表示函式謂詞（Functional predicate），在那裡函式是集合論中謂詞的模型。
按照映射的定義，下面的對應都是映射。
（2）設A=N*，B={0,1}，集合A中的元素按照對應關係“x除以2得的餘數”和集合B中的元素對應，這個對應是集合A到集合B的映射。
（3）設A={x|x是三角形}，B={y|y>0}，集合A中的元素x按照對應關係“計算面積”和集合B中的元素對應，這個對應是集合A到集合B的映射。
（4）設A=R，B={直線上的點}，按照建立數軸的方法，是A中的數x與B中的點P對應，這個對應是集合A到集合B的映射。
（5）設A={P|P是直角坐標系中的點}，B={(x,y)|x∈R,y∈R}，按照建立平面直角坐標系的方法，是A中的點P與B中的有序實數對(x,y)對應，這個對應是集合A到集合B的映射。
