集合(數學概念)

集合，簡稱集，是數學中一個基本概念，也是集合論的主要研究對象。集合論的基本理論創立於19世紀，關於集合的最簡單的說法就是在樸素集合論（最原始的集合論）中的定義，即集合是“確定的一堆東西”，集合里的“東西”則稱為元素。現代的集合一般被定義為：由一個或多個確定的元素所構成的整體。

基本介紹

• 中文名：集合
• 外文名：aggregate
• 簡稱：集
• 定義：一個或多個確定元素所構成的整體
• 提出者：康托爾
• 創立時間：19世紀

定義

概念

集合是指具有某種特定性質的具體的或抽象的對象匯總而成的集體。其中，構成集合的這些對象則稱為該集合的元素。

例如，全中國人的集合，它的元素就是每一個中國人。通常用大寫字母如A,B,S,T,...表示集合，而用小寫字母如a,b,x,y,...表示集合的元素。若x是集合S的元素，則稱x屬於S，記為x∈S。若y不是集合S的元素，則稱y不屬於S，記為y∉S 。

基數

集合中元素的數目稱為集合的基數，集合A的基數記作card(A)。當其為有限大時，集合A稱為有限集，反之則為無限集。一般的，把含有有限個元素的集合叫做有限集，含無限個元素的集合叫做無限集。

表示

假設有實數x < y：

①[x，y] ：方括弧表示包括邊界，即表示x到y之間的數以及x和y；

②(x，y)：小括弧是不包括邊界，即表示大於x、小於y的數。

地位

集合在數學領域具有無可比擬的特殊重要性。集合論的基礎是由德國數學家康托爾在19世紀70年代奠定的，經過一大批科學家半個世紀的努力，到20世紀20年代已確立了其在現代數學理論體系中的基礎地位，可以說，現代數學各個分支的幾乎所有成果都構築在嚴格的集合理論上。

特性

確定性

給定一個集合，任給一個元素，該元素或者屬於或者不屬於該集合，二者必居其一，不允許有模稜兩可的情況出現。

互異性

一個集合中，任何兩個元素都認為是不相同的，即每個元素只能出現一次。有時需要對同一元素出現多次的情形進行刻畫，可以使用多重集，其中的元素允許出現多次。

無序性

一個集合中，每個元素的地位都是相同的，元素之間是無序的。集合上可以定義序關係，定義了序關係後，元素之間就可以按照序關係排序。但就集合本身的特性而言，元素之間沒有必然的序。

分類

空集

有一類特殊的集合，它不包含任何元素，如{x|x∈R x²+1=0} ，稱之為空集，記為∅。空集是個特殊的集合，它有2個特點：

1. 空集∅是任意一個非空集合的真子集。
2. 空集是任何一個集合的子集。

子集

設S，T是兩個集合，如果S的所有元素都屬於T ，即 則稱S是T的子集，記為 。顯然，對任何集合S ，都有 。其中，符號 讀作包含於，表示該符號左邊的集合中的元素全部是該符號右邊集合的元素。如果S是T的一個子集，即 ，但在T中存在一個元素x不屬於S ，即 ，則稱S是T的一個真子集。

交並集

交集定義：由屬於A且屬於B的相同元素組成的集合，記作A∩B（或B∩A），讀作“A交B”（或“B交A”），即A∩B={x|x∈A,且x∈B}， 如右圖所示。注意交集越交越少。若A包含B，則A∩B=B，A∪B=A。

圖1 交集與並集

並集定義：由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合，記作A∪B（或B∪A），讀作“A並B”（或“B並A”），即A∪B={x|x∈A,或x∈B}，如右圖所示。注意並集越並越多，這與交集的情況正相反。

補集

補集又可分為相對補集和絕對補集。

相對補集定義：由屬於A而不屬於B的元素組成的集合，稱為B關於A的相對補集，記作A-B或A\B，即A-B={x|x∈A，且x∉B'}。

絕對補集定義：A關於全集合U的相對補集稱作A的絕對補集，記作A'或∁u（A）或~A。有U'=Φ；Φ'=U。

冪集

設有集合A，由集合A所有子集組成的集合，稱為集合A的冪集。對於冪集有定理如下：有限集A的冪集的基數等於2的有限集A的基數次冪。

區間

數學分析中，最常遇到的實數集的子集是區間。

設a，b(a<b)是兩個相異的實數，則滿足不等式a<x<b的所有實數x的集合稱為以a，b為端點的開區間，記為 ；滿足不等式 的所有實數的集合稱為以a，b為端點的閉區間，記為 ；滿足不等式 或 的所有實數x的集合稱為以a，b為端點的半開半閉區間，分別記為 及 。除此之外，還有下述幾類無限區間：

模糊集

用來表達模糊性概念的集合，又稱模糊集、模糊子集。普通的集合是指具有某種屬性的對象的全體。這種屬性所表達的概念應該是清晰的，界限分明的。因此每個對象對於集合的隸屬關係也是明確的，非此即彼。但在人們的思維中還有著許多模糊的概念，例如年輕、很大、暖和、傍晚等，這些概念所描述的對象屬性不能簡單地用“是”或“否”來回答，而模糊集合就是指具有某個模糊概念所描述的屬性的對象的全體。

由於概念本身不是清晰的、界限分明的，因而對象對集合的隸屬關係也不是明確的、非此即彼的。這一概念是美國加利福尼亞大學控制論專家L.A.扎德於1965 年首先提出的。模糊集合這一概念的出現使得數學的思維和方法可以用於處理模糊性現象，從而構成了模糊集合論（中國通常稱為模糊性數學）的基礎。

相等集合

如果兩個集合S和T的元素完全相同，則稱S與T兩個集合相等，記為S=T 。顯然有如下關係：

其中符號 稱為若且唯若，表示左邊的命題與右邊的命題相互蘊含，即兩個命題等價。

表示方法

表示集合的方法通常有四種，即列舉法、描述法、圖像法和符號法。

列舉法

列舉法就是將集合的元素逐一列舉出來的方式。例如，光學中的三原色可以用集合{紅，綠，藍}表示；由四個字母a,b,c,d組成的集合A可用A={a,b,c,d}表示，如此等等。

列舉法還包括儘管集合的元素無法一一列舉，但可以將它們的變化規律表示出來的情況。如正整數集 和整數集 可以分別表示為 和 。

描述法

描述法的形式為{代表元素|滿足的性質}。

設集合S是由具有某種性質P的元素全體所構成的，則可以採用描述集合中元素公共屬性的方法來表示集合：S={x|P(x)}。例如，由2的平方根組成的集合B可表示為B={x|x²=2}。而有理數集 和正實數集 則可以分別表示為 和 。

圖像法

圖像法，又稱韋恩圖法、韋氏圖法，是一種利用二維平面上的點集表示集合的方法。一般用平面上的矩形或圓形表示一個集合，是集合的一種直觀的圖形表示法，如圖2所示。

符號法

有些集合可以用一些特殊符號表示，舉例如下：

圖2韋恩圖集合表示法

N：非負整數集合或自然數集合{0,1,2,3,…}

N*或N₊：正整數集合{1,2,3,…}

Z：整數集合{…,-1,0,1,…}

Q：有理數集合

Q₊：正有理數集合

Q_-：負有理數集合

R：實數集合(包括有理數和無理數）

R₊：正實數集合

R_-：負實數集合

C：複數集合

∅ ：空集（不含有任何元素的集合）

運算定律

交換律：A∩B=B∩A；A∪B=B∪A

結合律：A∪(B∪C)=(A∪B)∪C；A∩(B∩C)=(A∩B)∩C

分配對偶律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)；A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)

對偶律：(A∪B)^C=A^C∩B^C；(A∩B)^C=A^C∪B^C

同一律：A∪∅=A；A∩U=A

求補律：A∪A'=U；A∩A'=∅

對合律：A''=A

等冪律：A∪A=A；A∩A=A

零一律：A∪U=U；A∩∅=∅

吸收律：A∪(A∩B)=A；A∩(A∪B)=A

反演律（德·摩根律）：(A∪B)'=A'∩B'；(A∩B)'=A'∪B'。文字表述：1.集合A與集合B的交集的補集等於集合A的補集與集合B的補集的並集; 2.集合A與集合B的並集的補集等於集合A的補集與集合B的補集的交集。

容斥原理（特殊情況）：

card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)

card(A∪B∪C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)。