空集

空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。空集不是無；它是內部沒有元素的集合。

可以將集合想像成一個裝有元素的袋子，而空集的袋子是空的，但袋子本身確實是存在的。

基本介紹

• 中文名：空集
• 外文名：empty set
• 基本釋義：不含任何元素的集合
• 符號：Ø
• 歸屬學科：數學
• 所屬：集合論
• Latex表示：\varnothing 

定義

空集是指不含任何元素的集合。空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

表示方法

用符號Ø或者{ }表示。

注意：{Ø}是有一個Ø元素的集合，而不是空集。

在LaTeX中空集表示代碼 \emptyset 。

0是一個數，不是集合。

{0}是一個集合，集合只有0這個元素。

Ø是一個集合，但是不含任何元素。

{Ø}是一個非空集合，集合只有空集這個元素。

空集舉例

當兩圓相離時，它們的公共點所組成的集合就是空集；

當一元二次方程的根的判別式值△<0時，它的實數根所組成的集合也是空集。

性質

對任意集合 A，空集是 A 的子集：∀A：Ø ⊆ A；

對任意集合 A，空集和 A 的並集為 A：∀A：A ∪ Ø = A；

對任意非空集合 A，空集是 A的真子集：∀A,，，若A≠Ø，則Ø 真包含於 A。

對任意集合 A，空集和 A 的交集為空集：∀A，A ∩ Ø = Ø；

對任意集合 A，空集和 A 的笛卡爾積為空集：∀A，A × Ø = Ø；

空集的唯一子集是空集本身：∀A，若 A ⊆ Ø ⊆ A，則 A= Ø；∀A，若A= Ø，則A ⊆ Ø ⊆ A。

空集的元素個數（即它的勢）為零；

特別的，空集是有限的：| Ø | = 0；

對於全集，空集的補集為全集：C_UØ=U。

集合論中，若兩個集合有相同的元素，則它們相等。那么，所有的空集都是相等的，即空集是唯一的。

考慮到空集是實數線（或任意拓撲空間）的子集，空集既是開集、又是閉集。空集的邊界點集合是空集，是它的子集，因此空集是閉集。空集的內點集合也是空集，是它的子集，因此空集是開集。另外，因為所有的有限集合是緊緻的，所以空集是緊緻集合，。

空集的閉包是空集。

公理集合論

在諸如策梅羅-弗蘭克爾集合論的公理集合論中，空集的存在性是由空集公理確定的。空集的唯一性由外延公理得出。

使用分離公理，任何陳述集合存在性的公理將隱含空集公理。例如：若 A 是集合，則分離公理允許構造集合 ，它就可以被定義為空集。

空集和零

根據定義，空集有 0 個元素，或者稱其勢為 0。然而，這兩者的關係可能更進一步：在標準的自然數的集合論定義中，0 被定義為空集。實數0與空集是兩個不同的概念，不能把0或{0}與Ø混為一談。

範疇論

若A為集合，則恰好存在從{ }到A的函式f，即空函式。結果，空集是集合和函式的範疇的唯一初始對象。

空集只能通過一種方式轉變為拓撲空間，即通過定義空集為開集；這個空拓撲空間是有連續映射的拓撲空間的範疇的唯一初始對象。

空集是任何非空集合的真子集。Ø只有一個子集，沒有真子集。{Ø}有兩個子集，一個是Ø一個是它本身

定義：不含任何元素的集合稱為空集。

空集是任何集合的子集，但把空集說成是任何集合的真子集就不確切。

關於補集，補集的概念是相對而言的，集合A在不同的全集中的補集是不同的，所以在描述補集概念時，一定要註明。集合A中子集B的補集或余集記為C_AB ，簡單的說集合A的補集是沒有意義的。

屬於符號“∈ ”、不屬於符號“∉”，它們只能用在元素與集合符號之間；包含於（被包含）符號“⊆ ”、包含符號“⊇”，它們只能用在兩個集合符號之間。

如，{0}是含有一個元素的集合，Ø是不含任何元素的集合，因此，有Ø⊆{0}，不能寫成Ø={0} 或Ø∈{0}。