給定兩個集合A,B,把他們所有的元素合併在一起組成的集合,叫做集合A與集合B的並集,記作A∪B,讀作A並B。
基本介紹
- 中文名:並集
- 外文名:union
- 符號:∪
- 概念:把A與B合併在一起組成的集合
- 關鍵字:並集、交集
- 套用學科:數學
定義,代數性質,無限並集,性質,韋恩圖表示,交集的性質,並集的性質,舉例,
定義
若A和B是集合,則A和B並集是有所有A的元素和所有B的元素,而沒有其他元素的集合。A和B的並集通常寫作 "A∪B",讀作“A並B”,用符號語言表示,即:A∪B={x|x∈A,或x∈B}
形式上,x是A∪B的元素,若且唯若x是A的元素,或x是B的元素。
代數性質
二元並集(兩個集合的並集)是一種結合運算,即A∪(B∪C) = (A∪B) ∪C。事實上,A∪B∪C也等於這兩個集合,因此圓括弧在僅進行並集運算的時候可以省略。相似的,並集運算滿足交換律,即集合的順序任意。
無限並集
最普遍的概念是:任意集合的並集。若 M 是一個集合的集合,則 x 是 M 的並集的元素,若且唯若存在 M 的元素 A,x 是 A 的元素。即:![](/img/5/a89/c1d52a7e29e764c80799984415ef.jpg)
![](/img/5/a89/c1d52a7e29e764c80799984415ef.jpg)
例如:A ∪ B ∪ C 是集合 {A,B,C} 的並集。同時,若 M 是空集, M 的並集也是空集。有限並集的概念可以推廣到無限並集。
上述概念有多種表示方法:集合論科學家簡單地寫
, 而大多數人會寫為
。 後者可推廣為
, 表示集合 {Ai : i is in I} 的並集。這裡
是一個集合,
是一個![](/img/3/d05/8ad4cbe67525e8ca45d8fb9899f0.jpg)
的集合。在索引集合
是自然數集合的情況下,上述表示和求和相類似:![](/img/e/d95/ad4505cbe5eb5615dab115eec8e4.jpg)
![](/img/d/ce4/84b67e0325d1195cf07ac9e31c1f.jpg)
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![](/img/3/46b/c7de932bce819f7530e6f952d047.jpg)
![](/img/e/d95/ad4505cbe5eb5615dab115eec8e4.jpg)
同樣,也可以寫作 "A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ···". (這是一個可數的集合的並集的例子,在數學分析中非常普遍;參見σ-代數)。最後,要注意的是,當符號"∪" 放在其他符號之前,而不是之間的時候,要寫的大一些。 交集在無限並集中滿足分配律,即
,
。 結合無限並集和無限交集的概念,可得![](/img/1/45c/7723eb9be85659245cfa77aedbda.jpg)
![](/img/7/13e/474204e0225baa9a2f3604615841.jpg)
![](/img/4/a54/966947bff8b5600136f637acb2f1.jpg)
![](/img/1/45c/7723eb9be85659245cfa77aedbda.jpg)
性質
韋恩圖表示
可用韋恩圖表示(分為五種情況顯示)
用韋恩圖解釋“並集”的概念
![用韋恩圖解釋“並集”的概念 用韋恩圖解釋“並集”的概念](/img/0/fcc/nBnauYWNjZGNygTZwMjZxgzMhJTZlNmYilzNjZ2N3IjNkdDOihTMhFDM2gzLtVGdp9yYpB3LltWahJ2Lt92YuUHZpFmYuMmczdWbp9yL6MHc0RHa.jpg)
交集的性質
關於交集有如下性質:
A∩B A,A∩B B,A∩A=A,A∩ = ,A∩B=B∩A;
並集的性質
關於並集有如下性質:
A∪B,B A∪B,A∪A=A,A∪∅=A,A∪B=B∪A
若A∩B=A,則A∈B,反之也成立;
若A∪B=B,則A∈B,反之也成立。
若x∈(A∩B),則x∈A且x∈B;
若x∈(A∪B),則x∈A,或x∈B。
舉例
集合{1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的並集是 {1, 2, 3, 4}。數字 9 不屬於質數集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶數集合{2, 4, 6, 8, 10, …} 的並集,因為 9 既不是素數,也不是偶數。
更通常的,多個集合的並集可以這樣定義:例如,A, B 和 C 的並集含有所有 A 的元素,所有 B 的元素和所有 C 的元素,而沒有其他元素。