集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的並集是 {1, 2, 3, 4}。數字 9 不 屬於素數集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶數集合 {2, 4, 6, 8, 10, …} 的並集，因為 9 既不是素數，也不是偶數。
基本介紹
- 中文名：∪
- 含義：並集
- 讀音：bìngjí
- 類型：數學符號
- 數學定義：A∪B={x|x∈A或x∈B}
概述,舉例,代數性質,
概述
bìngjí
定義：由所有屬於A或屬於B的元素所組成的集合，叫做A,B的並集
表示：A∪B 讀作：A並B
性質：A∪A=A
A∪Φ = Φ∪A=A（其中Φ在數學上代表空集）
A∪B=B∪A
定義 由所有屬於集合A或屬於集合B的元素所組成的集合叫做並集，記作A∪B，讀作“A並B”
A∪B={xIx∈A或x∈B}
在集合論和數學的其他分支中，一組集合的並集是這些集合的所有元素構成的集合，而不包含其他元素。
舉例
集合 {1, 2, 3} 和 {2, 3, 4} 的並集是 {1, 2, 3, 4}。數字 9 不 屬於素數集合 {2, 3, 5, 7, 11, …} 和偶數集合 {2, 4, 6, 8, 10, …} 的並集，因為 9 既不是素數，也不是偶數。
更通常的，多個集合的並集可以這樣定義：例如，A， B 和 C 的並集含有所有 A 的元素，所有 B 的元素和所有 C 的元素，而沒有其他元素。
形式上：x 是 A ∪B ∪C 的元素，若且唯若 x ∈A 或 x ∈B 或 x ∈C。
代數性質
二元並集（兩個集合的並集）是一種結合運算，即 A ∪(B ∪C) = (A ∪B) ∪C。事實上，A ∪B ∪C 也等於這兩個集合，因此圓括弧在僅進行並集運算的時候可以省略。
相似的，並集運算滿足交換律，即集合的順序任意。
空集是並集運算的單位元。即 Φ ∪A = A，對任意集合 A。可以將空集當作零個集合的並集。
無限並集：
最普遍的概念是：任意集合的並集。若 M 是一個集合的集合，則 x 是 M 的並集的元素，若且唯若存在 M 的元素 A，x 是 A 的元素。即： <math>x \in \bigcup\mathbf \iff \exists A{\in}\mathbf, x \in A.</math>
例如：A ∪ B ∪ C 是集合 {A,B,C} 的並集。同時，若 M 是空集， M 的並集也是空集。有限並集的概念可以推廣到無限並集。
上述概念有多種表示方法：集合論科學家簡單地寫 <math>\bigcup \mathbf</math> ， 而大多數人會這樣寫 <math>\bigcup_{A\in\mathbf} A</math> 。 後一種寫法可以推廣為 <math>\bigcup_{i\in I} A_</math> ， 表示集合 {Ai : i is in I} 的並集。這裡 I 是一個集合，Ai 是一個 i 屬於 I 的集合。在索引集合 I 是自然數集合的情況下，上述表示和求和類似： <math>\bigcup_{i=1}^{\infty} A_</math> 。
同樣，也可以寫作 "A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ···". （這是一個可數的集合的並集的例子，在數學分析中非常普遍；參見σ-代數）。最後，要注意的是，當符號 "∪" 放在其他符號之前，而不是之間的時候，要寫的大一些。 交集在無限並集中滿足分配律，即 <math>\bigcup_{i\in I} (A \cap B_) = A \cap \bigcup_{i\in I} B_</math> 。 結合無限並集和無限交集的概念，可得 <math>\bigcup_{i\in I} (\bigcap_{j\in J} A_{i,j}) \subseteq \bigcap_{j\in J} (\bigcup_{i\in I} A_{i,j}).</math>
