基本介紹
- 中文名：容斥原理
- 外文名：Principle of inclusion-exclusion
- 分類：數學
- 又名：排容原理
- 功能：計數時無遺漏
- 證明：數學歸納法
簡介,定義,公式,嚴格證明,舉例,
簡介
在計數時，必須注意沒有重複，沒有遺漏。為了使重疊部分不被重複計算，人們研究出一種新的計數方法，這種方法的基本思想是：先不考慮重疊的情況，把包含於某內容中的所有對象的數目先計算出來，然後再把計數時重複計算的數目排斥出去，使得計算的結果既無遺漏又無重複，這種計數的方法稱為容斥原理。
定義
如果被計數的事物有A、B、C三類，那么，A類和B類和C類元素個數總和= A類元素個數+ B類元素個數+C類元素個數—既是A類又是B類的元素個數—既是A類又是C類的元素個數—既是B類又是C類的元素個數+既是A類又是B類而且是C類的元素個數。（A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C）。
例如：一次期末考試，某班有15人數學得滿分，有12人語文得滿分，並且有4人語、數都是滿分，那么這個班至少有一門得滿分的同學有多少人？
分析：依題意，被計數的事物有語、數得滿分兩類，“數學得滿分”稱為“A類元素”，“語文得滿分”稱為“B類元素”，“語、數都是滿分”稱為“既是A類又是B類的元素”，“至少有一門得滿分的同學”稱為“A類和B類元素個數”的總和。為15+12-4=23。
公式
也可表示為
設S為有限集,
,則
由於
所以
兩個集合的容斥關係公式：A∪B =|A∪B| = |A|+|B| - |A∩B |(∩：重合的部分）
三個集合的容斥關係公式：|A∪B∪C| = |A|+|B|+|C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C|
詳細推理如下：
1、 等式右邊改造 = {[（A+B - A∩B）+C - B∩C] - C∩A }+ A∩B∩C
2、維恩圖分塊標記如右圖圖：1245構成A，2356構成B，4567構成C
3、等式右邊（）里指的是下圖的1+2+3+4+5+6六部分：
那么A∪B∪C還缺部分7。
4、等式右邊[]號里+C（4+5+6+7）後，相當於A∪B∪C多加了4+5+6三部分，
減去B∩C（即5+6兩部分）後，還多加了部分4。
5、等式右邊{}里減去C∩A （即4+5兩部分）後，A∪B∪C又多減了部分5，
則加上A∩B∩C（即5）剛好是A∪B∪C。
嚴格證明
對於容斥原理我們可以利用數學歸納法證明：
證明：當
時，等式成立(證明略)。
假設
時結論成立，則當
時，
所以當
時，結論仍成立。因此對任意
，均可使所證等式成立。
舉例
例1（國小奧數題）
某校六⑴班有學生45人，每人在暑假裡都參加體育訓練隊，其中參加足球隊的有25人，參加排球隊的有22人，參加游泳隊的有24人，足球、排球都參加的有12人，足球、游泳都參加的有9人，排球、游泳都參加的有8人，問：三項都參加的有多少人？
分析：參加足球隊的人數25人為A類元素，參加排球隊人數22人為B類元素，參加游泳隊的人數24人為C類元素，既是A類又是B類的為足球排球都參加的12人，既是B類又C類的為足球游泳都參加的9人，既是C類又是A類的為排球游泳都參加的8人，三項都參加的是A類B類C類的總和設為X。注意：這個題說的每人都參加了體育訓練隊，所以這個班的總人數即為A類B類和C類的總和。
答案：25+22+24-12-9-8+X=45 ，解得X=3
例2（高中題）
在1到1000的自然數中，能被3或5整除的數共有多少個？不能被3或5整除的數共有多少個？
分析：顯然，這是一個重複計數問題（當然，如果不怕麻煩你可以分別去數3的倍數，5的倍數）。我們可以把“能被3或5整除的數”分別看成A類元素和B類元素，能“同時被3或5整除的數（15的倍數）”就是被重複計算的數，即“既是A類又是B類的元素”。求的是“A類或B類元素個數”。我們還不能直接計算，必須先求出所需條件。1000÷3=333……1，能被3整除的數有333個（想一想，這是為什麼？）同理，可以求出其他的條件。
例3（高中題）
分母是1001的最簡分數一共有多少個？
分析：這一題實際上就是找分子中不能與1001進行約分的數。由於1001=7×11×13，所以就是找不能被7，11，13整除的數。
解答：1~1001中，有7的倍數1001/7 = 143 （個)；有11的倍數1001/11 = 91 （個），有13的倍數1001/13 = 77 （個）；有7*11=77;77是11的倍數1001/77 = 13 （個），有7*13=91;91是13的倍數；1001/91 = 11 （個），有11*13=143;143是13的倍數1001/143 = 7 （個）.有1001的倍數1個。
由容斥原理知：在1~1001中，能被7或11或13整除的數有（143+91+77）-（13+11+7）+1=281（個），從而不能被7、11或13整除的數有1001-281=720（個）.也就是說，分母為1001的最簡分數有720個。
例4（國小奧數題）
某個班的全體學生在進行了短跑、游泳、投擲三個項目的測試後，有4名學生在這三個項目上都沒有達到優秀，其餘每人至少有一項達到了優秀，達到了優秀的這部分學生情況如下表：
短跑 | 游泳 | 投擲 | 短跑 游泳 | 短跑 投擲 | 游泳 投擲 | 短跑 游泳 投擲 |
1 7 | 1 8 | 1 5 | 6 | 6 | 5 | 2 |
求這個班的學生共有多少人？
分析：這個班的學生數，應包括達到優秀和沒有達到優秀的。
4+17+18+15-6-6-5+2=39（人）
例5（國小奧數題）
在一根長的木棍上有三種刻度線，第一種刻度線將木棍分成10等份，第二種將木棍分成12等份，第三種將木棍分成15等份。如果沿每條刻度線將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段？
分析：
很顯然，要計算木棍被鋸成多少段，只需要計算出木棍上共有多少條不同的刻度線，在此基礎上加1就是段數了。
若按將木棍分成10等份的刻度線鋸開，木棍有9條刻度線。在此木棍上加上將木棍分成12等份的11條刻度線，顯然刻度線有重複的，如5/10和6/12都是1/2。同樣再加上將木棍分成15等份的刻度線，也是如此。所以，我們應該按容斥原理的方法來解決此問題。用容斥原理的那一個呢？想一想，被計數的事物有那幾類？每一類的元素個數是多少？
解答
解一：[10，12，15]=60，設木棍60厘米
60÷10=6厘米，60÷12=5厘米，60÷15=4(厘米
10等分的為第一種刻度線，共10－1=9(條)
12等分的為第二種刻度線，共12－1=11(條)
15等分的為第三種刻度線，過15－1=14(條)
第一種與第二種刻度線重合的[6，5]=30，60÷30－1=2－1=1(條)
第一種與第三種刻度線重合的[6，4]=12，60÷12－1=5－1=4(條)
第二種與第三種刻度線重合的[5，4]=20，60÷20－1=3－1=2(條)
三種刻度線重合的沒有，[6、5、4]=60
因此，共有刻度線9+11+14－1－4－2=27條，木棍總共被鋸成27+1=28段。
解二：總長看成單位1分別分成10、12、15段。1/10與1/12的最低公倍數1/2，1/10與1/15的最低公倍數1/5，1/12與1/15的最低公倍數1/3，1/10，1/12和1/15的最低公倍數為1，有10+12+15-（2+5+3）+1=28
解三：
10、12、15的最低公倍數是60，假設木棍就是長60，
1、那么，分成10等份的每份6，刻度就是
0，6，12，18，24，30，36，42，48，54，60
2、分成12等分的每份就是5，
0，5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，55，60
3、分成15等分的每份就是4，
0，4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，44，48，52，56，60
4、把相同刻度的合併，就是有刻度如下：
0，4，5，6，8，10，12，15，16，18，20，24，25，28，30，32，35，36，40，42，44，45，48，50，52，54，55，56，60
