數學分析(數學基礎分支)

又稱高級微積分，分析學中最古老、最基本的分支。一般指以微積分學和無窮級數一般理論為主要內容，並包括它們的理論基礎（實數、函式和極限的基本理論）的一個較為完整的數學學科。它也是大學數學專業的一門基礎課程。數學中的分析分支是專門研究實數與複數及其函式的數學分支。它的發展由微積分開始，並擴展到函式的連續性、可微分及可積分等各種特性。這些特性，有助我們套用在對物理世界的研究，研究及發現自然界的規律。

基本介紹

• 中文名：數學分析
• 外文名：Mathematical Analysis
• 所屬學科：數學
• 研究內容：函式、極限、微積分、級數
• 理論基礎：極限理論
• 學科特點：抽象、嚴謹、套用廣泛

簡介

數學分析的主要內容是微積分學，微積分學的理論基礎是極限理論，極限理論的理論基礎是實數理論。微積分學是微分學(Differential Calculus)和積分學(Integral Calculus)的統稱，英語簡稱Calculus，意為計算，這是因為早期微積分主要用於天文、力學、幾何中的計算問題。後來人們也將微積分學稱為分析學（Analysis)，或稱無窮小分析，專指運用無窮小或無窮大等極限過程分析處理計算問題的學問。

早期的微積分，已經被數學家和天文學家用來解決了大量的實際問題，但是由於無法對無窮小概念作出令人信服的解釋，在很長的一段時間內得不到發展，有很多數學家對這個理論持懷疑態度，柯西（Cauchy）和後來的魏爾斯特拉斯（weierstrass）完善了作為理論基礎的極限理論，擺脫了“要多小有多小”、“無限趨向”等對模糊性的極限描述，使用精密的數學語言來描述極限的定義，使微積分逐漸演變為邏輯嚴密的數學基礎學科，被稱為“Mathematical Analysis”，中文譯作“數學分析”。

實數系最重要的特徵是連續性，有了實數的連續性，才能討論極限，連續，微分和積分。正是在討論函式的各種極限運算的合法性的過程中，人們逐漸建立起了嚴密的數學分析理論體系。

發展歷史

早期發展

在古希臘數學的早期，數學分析的結果是隱含給出的。比如，芝諾的兩分法悖論就隱含了幾何級數的和。再後來，古希臘數學家如歐多克索斯和阿基米德使數學分析變得更加明確，但還不是很正式。他們在使用窮竭法去計算區域和固體的面積和體積時，使用了極限和收斂的概念。在古印度數學的早期，12世紀的數學家婆什迦羅第二給出了導數的例子。

阿基米德

早期創立

數學分析的創立始於17世紀以牛頓（Newton，I.）和萊布尼茨（Leibniz，G.W）為代表的開創性工作，而完成於19世紀以柯西（Cauchy）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass）為代表的奠基性工作。從牛頓開始就將微積分學及其有關內容稱為分析。其後，微積分學領域不斷擴大，但許多數學家還是沿用這一名稱。時至今日，許多內容雖已從微積分學中分離出去，成了獨立的學科，而人們仍以分析統稱之。數學分析亦簡稱分析。

研究對象

數學分析的研究對象是函式，它從局部和整體這兩個方面研究函式的基本性態，從而形成微分學和積分學的基本內容。微分學研究變化率等函式的局部特徵，導數和微分是它的主要概念，求導數的過程就是微分法。圍繞著導數與微分的性質、計算和直接套用，形成微分學的主要內容。積分學則從總體上研究微小變化（尤其是非均勻變化）積累的總效果，其基本概念是原函式（反導數）和定積分，求積分的過程就是積分法。積分的性質、計算、推廣與直接套用構成積分學的全部內容。牛頓和萊布尼茨對數學的傑出貢獻就在於，他們在1670年左右，總結了求導數與求積分的一系列基本法則，發現了求導數與求積分是兩種互逆的運算，並通過後來以他們的名字命名的著名公式—牛頓-萊布尼茨公式—反映了這種互逆關係，從而使本來各自獨立發展的微分學和積分學結合而成一門新的學科—微積分學。又由於他們及一些後繼學者（特別是歐拉（Euler））的貢獻，使得本來僅為少數數學家所了解，只能相當艱難地處理一些個別具體問題的微分與積分方法，成為一種常人稍加訓練即可掌握的近於機械的方法，打開了把它廣泛套用於科學技術領域的大門，其影響所及，難以估量。因此，微積分的出現與發展被認為是人類文明史上劃時代的事件之一。與積分相比，無窮級數也是微小量的疊加與積累，只不過取離散的形式（積分是連續的形式）。因此，在數學分析中，無窮級數與微積分從來都是密不可分和相輔相成的。在歷史上，無窮級數的使用由來已久，但只在成為數學分析的一部分後，才得到真正的發展和廣泛套用。

牛頓

基本方法

數學分析的基本方法是極限的方法，或者說是無窮小分析。洛比達（L’Hospital）於1696年在巴黎出版的世界上第一本微積分教科書，歐拉於1748年出版的兩卷本溝通微積分與初等分析的書，書名中都出現過無窮小分析這個詞。在微積分學發展的初期，這種新的方法顯示出巨大的力量，因而得到大批重要的成果。許多與微積分有關的新的數學分支，如變分法、微分方程以至於微分幾何和複變函數論，都在18—19世紀初發展起來。然而，初期的分析還是比較粗糙的，被新方法的力量鼓舞的數學家們經常不顧演繹的邏輯根據，使用著直觀的猜測和自相矛盾的推理，以致在整個18世紀，對這種方法的合理性普遍存在著懷疑。這些懷疑在很大程度上是從當時經常使用的無窮小的含義與用法上引起的。隨意使用與解釋無窮小導致了混亂和神秘感。許多人參與了無窮小本質的論爭，其中有些人，如拉格朗日（Lagrange），試圖排除無窮小與極限，把微積分代數化。論爭使函式與極限的概念逐漸明朗化。越來越多的的數學家認識到，必須把數學分析的概念與其在客觀世界的原型以及人的直覺區分開來。

歐拉

因而，從19世紀初開始了一個一個把分析算術化（使分析成為一種像算術那樣的演繹系統）為特徵的新的數學分析的批判改造時期。柯西於1821年出版的《分析教程》是分析嚴密化的一個標誌。在這本書中，柯西建立了接近現代形式的極限，把無窮小定義為趨於零的變數，從而結束了百年的爭論。在極限的基礎上，柯西定義了函式的連續性、導數、連續函式的積分和級數的收斂性（後來知道，波爾查諾（Bolzano）同時也做過類似的工作）。進一步，狄利克雷於（Dirichlet）1837年提出了函式的嚴格定義，魏爾斯特拉斯引進了極限的ε-δ定義。基本上實現了分析的算術化，使分析從幾何直觀的局限中得到了“解放”，從而驅散了17—18世紀籠罩在微積分外面的神秘雲霧。

柯西

繼而在此基礎上，黎曼（Riemann）於1854年和達布（Darboux）於1875年對有界函式建立了嚴密的積分理論，19世紀後半葉，戴德金（Dedekind）等人完成了嚴格的實數理論。至此，數學分析的理論和方法完全建立在牢固的基礎之上，基本上形成了一個完整的體系，也為20世紀現代分析的發展鋪平了道路。

相關聯繫

微積分理論的產生離不開物理學，天文學，經濟學，幾何學等學科的發展，微積分理論從其產生之日起就顯示了巨大的套用活力，所以在數學分析的教學中，應強化微積分與相鄰學科之間的聯繫，強調套用背景，充實理論的套用性內容。數學分析的教學除體現本課程嚴格的邏輯體系外，也要反映現代數學的發展趨勢，吸收和採用現代數學的思想觀點與先進的處理方法，提高學生的數學修養。