在代數拓撲學中，拓撲空間之貝蒂數 b0,b1,b2,… 是一族重要的不變數，取值為非負整數或無窮大。直觀地看，b0 是連通成份之個數，b1 是沿著閉曲線剪開空間而保持連通的最大剪裁次數。更高次的 bk 可藉同調群定義。“貝蒂數”一詞首先由龐加萊使用，以義大利數學家恩里科·貝蒂命名。
基本介紹
- 中文名：貝蒂定理
- 外文名：Betti theorem
- 公式：Z+=P∪Q
- 語言表達：P∩Q為空集且P∪Q為正整數集合Z+
- 科目：數學
定理內容：,Beatty定理的證明,I. 任一個整數至多在集合P或Q中出現一次,II. P∩Q為空集,III. Z+ = P∪Q,結論,
定理內容：
設a、b是正無理數且 1/a +1/b =1。記P={ [na] | n為任意的正整數}，Q={ [nb] | n 為任意的正整數}，([x]'指的是取x的整數部分)則P與Q是Z+的一個劃分，即P∩Q為空集且P∪Q為正整數集合N+。
Beatty定理的證明
I. 任一個整數至多在集合P或Q中出現一次
II. P∩Q為空集
現證明P∩Q為空集：(反證法)假設k為P∩Q的一個整數，則存在正整數m、n使得[ma]=[nb]=k。即k < ma、nb<k+1，等價地改寫不等式為
m/(k+1)< 1/a < m/k及n/(k+1)< 1/b < n/k。相加起來得 (m+n)/(k+1) < 1 < (m+n)/k，即 k < m+n < k+1。這與m、n為整數有矛盾，所以P∩Q為空集。
III. Z+ = P∪Q
現證明Z+=P∪Q：已知P∪Q是Z+的子集，剩下來只要證明Z+是P∪Q的子集。(反證法)假設Z+\(P∪Q)有一個元素k，則存在正整數m、n使得[ma]< k <[(m+1)a]、[nb]< k <[(n+1)b]。 由此得ma < k ≦[ (m+1)a]-1<(m+1)a -1（因為a是無理數），類似地有nb < k ≦[ (n+1)b]-1<(n+1)b -1。等價地改寫為 m/k < 1/a < (m+1)/(k+1)及n/k < 1/b < (n+1)/(k+1)。兩式加起來，得
(m+n)/k < 1 < (m+n+2)/(k+1)，即m+n < k < k+1 < m+n+2。這與m, n, k皆為正整數矛盾。
結論
N+=P∪Q
