基本介紹
- 中文名：整數
- 外文名：integer
- 分類：正整數、零與負整數
- 個例：0,1,2,
- 適用範圍：數理科學
分類,奇偶數,代數性質,1與0的特性,整除特徵,奇偶性,整數集的表示,
分類
我們以0為界限，將整數分為三大類：
1. 正整數，即大於0的整數如，1，2，3······直到
。
2. 零，既不是正整數，也不是負整數，它是介於正整數和負整數的數。
註：零和正整數統稱自然數。
正整數
它是從古代以來人類計數的工具。可以說，從“1頭牛，2頭牛”或是“5個人，6個人”抽象化成正整數的過程是相當自然的。
零
零不僅表示“沒有”（“無”），更是表示空位的符號。中國古代用算籌計算數並進行運算時，空位不放算籌，雖無空 位記號，但仍能為位值記數與四則運算創造良好的條件。印度-阿拉伯命數法中的零(zero)來自印度的(Sunya)字，其原意也是“空”或“空白”。
負整數
中國最早引進了負數。《九章算術.方程》中論述的“正負數”，就是整數的加減法。減法的需要也促進了負整數的引入。減法運算可看作求解方程
，如果
、b是自然數，則所給方程未必有自然數解。為了使它恆有解，就有必要把自然數系擴大為整數系。
奇偶數
偶數包括正偶數（亦稱雙數）、負偶數和0。所有整數不是奇數，就是偶數。
在十進制里，我們可用看個位數的方式判斷該數是奇數還是偶數：個位為1,3,5,7,9的數為奇數；個位為0,2,4,6,8的數為偶數。
代數性質
下表給出整數加法和乘法的基本性質。（即對任何整數a，b和c成立）
性質 | 加法 | 乘法 |
封閉性 |  |  |
結合律 |  |  |
交換律 |  |  |
存在單位元 |  |  |
存在逆元 |  | 在整數集中，只有1或 -1關於乘法存在整數逆元 |
分配律 |  | |
1與0的特性
1是任何數的約數，即對於任何整數，總有1| 。
0是任何非零數的倍數，
,為整數，則 |0。
整除特徵
1. 若一個數的末位是單偶數，則這個數能被2整除。
2. 若一個數的數字和能被3整除，則這個整數能被3整除。
3. 若一個數的末尾兩位數能被4整除，則這個數能被4整除。
4. 若一個數的末位是0或5，則這個數能被5整除。
5. 若一個數能被2和3整除，則這個數能被6整除。
6. 若一個數的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的2倍，如果差是7的倍數，則原數能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍數，就需要繼續上述「截尾、倍大、相減、驗差」的過程，直到能清楚判斷為止。例如，判斷133是否7的倍數的過程如下：
，所以133是7 的倍數；又例如判斷6139是否7的倍數的過程如下：
，
，所以6139是7的倍數，余類推。
7. 若一個數的未尾三位數能被8整除，則這個數能被8整除。
8. 若一個數的數字和能被9整除，則這個整數能被9整除。
9. 若一個數的末位是0，則這個數能被10整除。
10. 若一個數的奇位數字之和與偶位數字之和的差能被11整除，則這個數能被11整除。11的倍數檢驗法也可用上述檢查7的「割尾法」處理。過程唯一不同的是：倍數不是2而是1。
11. 若一個數能被3和4整除，則這個數能被12整除。
12. 若一個數的個位數字截去，再從餘下的數中，加上個位數的4倍，如果和是13的倍數，則原數能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍數，則重複「截尾、倍大、相加、驗和」的過程，直到能清楚判斷為止。
13. 若一個數的個位數字截去，再從餘下的數中，減去個位數的5倍，如果差是17的倍數，則原數能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍數，同樣重複之前的過程，直到能清楚判斷為止。
14. 若一個數的個位數字截去，再從餘下的數中，加上個位數的2倍，如果差是19的倍數，則原數能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍數，同樣重複之前的計算思路，直到能清楚判斷為止。
15. 若一個數的末三位與3倍的前面的隔出數的差能被17整除，則這個數能被17整除。
16. 若一個數的末三位與7倍的前面的隔出數的差能被19整除，則這個數能被19整除。
17. 若一個數的末四位與前面5倍的隔出數的差能被23(或29)整除，則這個數能被23整除
奇偶性
1. 奇數±奇數=偶數，偶數±偶數=偶數，奇數±偶數=奇數，偶數×偶數=偶數，奇數×偶數=偶數，奇數×奇數=奇數；即任意多個偶數的和、差、積仍為偶數，奇數個奇數的和、差為奇數，偶數個奇數的和、差為偶數；
2. 奇數的平方都可以表示成
的形式，偶數的平方可以表示為
或
的形式；
3. 若有限個整數之積為奇數，則其中每個整數都是奇數；若有限個整數之積為偶數，則這些整數中至少有一個是偶數；兩個整數的和與差具有相同的奇偶性；一個整數的平方根若是整數，則兩者具有相同的奇偶性。
整數集的表示
為什麼用
表示整數集呢？這個涉及到一個德國女數學家對環理論的貢獻，她叫諾特。
