一個非零環R叫做一個整環（integral domain），整環是抽象代數中最基本的概念之一。對任意的a,b屬於環R，假如1、乘法適合交換律ab=ba；2、R有單位元e；3、R沒有零因子ab=0可得a=0或b=0，則R是整環。
基本介紹
- 中文名：整環
- 外文名：integral domain
- 概念：一個非零環R
- 運算：+和*
- 一級學科：數學
- 二級學科：抽象代數
定義,整環的商域,相關概念,
定義
一個環是一個集合 A 以及它上面的兩種運算，分別稱為+和*，滿足以下條件：
1、A 關於加法成為一個 Abel 群（其零元素記作 0）；
2、乘法滿足結合律：(a * b) * c = a * (b * c)；
3、乘法對加法滿足分配律：a * (b + c) = a * b + a * c, (a + b) * c = a * c + b * c；
如果環 A 還滿足以下乘法交換律，則稱為“交換環”：
4、乘法交換律：a * b = b * a。
如果交換環 A 還滿足以下兩條件，就稱為“整環”（integral domain）：
5、A 中存在非零的乘法單位元，即存在 A 中的一個元素，記作 1，滿足：1 不等於 0，且對任意 a，有：e* a = a * e= a；
6、ab=0 => a=0 或 b=0。
例：
1、整數環是整環。
2、整環上的多項式環仍是整環。
3、當 n>1 時，任意環上的n階矩陣環不是整環。
整環的商域
我們知道有理數域
，它是由所有整數的商（除數不為0）構成的集合。一下將仿照由整數構造有理數的方法，由任意一個整環，構造一個包含該整環的域。通常稱這種構造方法為局部化方法。
命題1，設R是一個整環，令
。在
上定義關係（即“分數相等規則”）：
則
是 的等價關係。
命題2，記號同上，利用整環R的運算，在集合
上定義兩個運算：
則
是域。
定義1，上述構造的域F稱為整環R的商域，或稱為整環R的分式域。
定理1，整環R的商域F是包含R的最小域。
定理2，設
分別是整環
的商域，若
是環同構，則存在
到
的域同構
，且
。
相關概念
定義3，設a,b是環
中的兩個非零元素。
如果
，則稱a是中的一個左零因子；b是中的右零因子；若一個元素既是左零因子，又是右零因子，則稱它是零因子；若a是環中的非零元，且存在正整數k，使
，則稱a是一個冪零元。
定義4，設是一個環，對於任意
，若
，則有
或
成立，其中θ是的零元，那么稱環是無零因子環。
