整表示

整表示是一類特殊的線性表示。設R是一個整環，其分式域為F，若群G在域F上的一個矩陣表示使得對任g∊G，矩陣T(g)的每個元素均在R中，則稱這種表示為整表示。若R是一個主理想整環，其分式域為F，則每個F表示均等價於一個R表示。

基本介紹

• 中文名：整表示
• 外文名：integral representation
• 適用範圍：數理科學

簡介

設 G 為一有限群，素數 p 整除 G 的階。適當取 p 模系統（K，R，k），可使 K 和 k 都是 G 的分裂域。設為 G 在 K 上的不可約表示，而為 G 在 k 上的不可約表示，這裡 s 為 G 中共軛類的個數，而 r 為 G 中 p 正則元素組成的共軛類的個數。

設，為 G 在 K 上的矩陣表示，則有 K 上可逆矩陣 P ，使得對每個為 R 上的矩陣。這樣，就得到一個 G 在整環上的表示，這種表示稱為整表示。

分解數

[decomposition numbers]

對每個 ，用 表示 a 在同態 下的像，則 是 G 在 k 上的表示。雖然在等價的意義下 T^*不是被 T 唯一確定的，但不論選取怎樣的矩陣 P ，所得的T^*的不可約成分和出現的重數是被 T 唯一確定的。

若 T 為表示，而在相應的中出現的重樹為，則寫成

稱為分解數，矩陣稱為分解數矩陣。

還可以證明，當 p 模系統（K，P，k）滿足一定條件時，對每個主不可分解表示，通過把矩陣中元素換成其在同態下的像正好得到。而且此時還有

由此我們得到嘉當矩陣與分解數矩陣的關係式：。C 是對稱陣。