賦值環(valuation ring)是一種特殊的局部環。也是重要的交換環類。交換環R稱為賦值環。賦值環是交換的特殊序列。它與戴德金環有密切的關係。事實上，交換諾特局部整環是賦值環若且唯若它是戴德金環。
基本介紹
- 中文名：賦值環
- 外文名：valuation ring
- 領域 ：數學
- 學科：環論
- 性質：一種特殊的局部環
- 相關環：戴德金環
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概念
賦值環(valuation ring)是一種特殊的局部環。也是重要的交換環類。交換環R稱為賦值環，是指它滿足以下等價條件之一：
1.對任意a，b∈R，恆有a∈Rb或b∈Ra，換言之，必有a整除b或b整除a。
2.R的所有理想(對於包含關係)組成線性序集。
3.R是局部環且任意有限生成理想是主理想。滿足條件3的環也稱為貝祖特環。
賦值環是交換的特殊序列。它與戴德金環有密切的關係。事實上，交換諾特局部整環是賦值環若且唯若它是戴德金環。賦值環上的模具有良好的分解性質，馬特利斯(Matlis，E.)於1957年證明：賦值環R上任意有限生成模M的內射包E(M)是有限個不可分解內射模的直和，或等價於M有有限哥爾迪維數。賦值環R上任意有限表示模是循環表示模的直和，從而推廣了卡普蘭斯基(Kaplansky，I.)的工作。
環
環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集：
局部環
它和半局部環分別是完全準素環和半準素環概念的推廣。環R(≠0)中，若不可逆元(即非單位)集A對於加法是封閉的，則R稱為局部環。以下性質是等價的：
1.R是局部環。
2.R中不可逆元的集A是(雙邊)理想。
3.A是極大左(右)理想。
4.對於任意r∈R，r或1-r必是左(右)可逆元。
5.R的雅各布森根J(R)是極大左(右)理想。
6.R/J(R)是除環。
7.J(R)=A={x∈R|Rx≠R}(x稱為非生成子)。
若R/R(J)是半單的，則稱R是半局部的。局部環的概念對於模的分解性質十分重要。對於任意R模M，若M的自同態環End(M)是局部的，則M是不可分解的.反之，若M是不可分解且是內射的，則End(M)是局部環。東屋五郎(Azumaya，G.)曾利用局部環的概念，把古典的克魯爾-銳瑪克-施密特定理推廣為項數可以是無窮的情形。局部環也具有特殊的同調性質。卡普蘭斯基(Kaplansky，I.)於1958年證明：對於局部環R，任意R投射模是R自由的。
環論
抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系。在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運算，使得R中任意元a，b，c適合條件：
1.R對加法為交換群，稱為R的加法群，記為(R，+)；
2.R對乘法適合結合律，即(R，·)是半群，稱為R的乘法半群；
3.乘法對加法的左、右分配律成立，即a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律)，(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律)；
則稱R為結合環，簡稱環(通常a·b寫為ab)。它是環論研究的主要對象。環論起源於19世紀關於實數域的擴張與分類，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密頓(Hamilton，W.R.)等人對超複數系的建立和研究。韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)於1907年給出的結構定理給出代數研究的模式，也成為環結構研究的模式。20世紀20-30年代，諾特(Noether，E.)建立了環的理想理論，阿廷(Artin，E.)又將代數結構定理推廣到有極小條件的環。同時，對非極小條件的環，馮·諾伊曼(von Nenmann，H.)建立了正則環理論，相繼蓋爾范德(Гельфанд，И.М.)創立了賦值環，克魯爾(Krull，W.)建立了局部環理論，以及哥爾迪(Goldie，A.W.)完善了極大條件環理論。
20世紀40年代，根論迅速發展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年引入的被稱為雅各布森根的概念後，建立了本原環理論、半本原環的結構定理與本原環的稠密性定理，完善和深化了不帶附加條件環的理論。20世紀50年代中期，阿密蘇(Amitsur，S.A.)、庫洛什(Kurosh，A.)創立了根的一般理論，環論已趨完善。
另一方面，由群表示研究的影響，產生模、群環與分次環的理論。20世紀20年代初，諾特引入了模的概念，並研究模對有限群表示的作用與環結構之間的關係，用模的語言去刻畫環，特別是20世紀50年代以後，同調代數的迅速發展，使環的理論進入更高層次雖然，早在1854年，凱萊(Cayley，A.)就引入了群代數，然而，它的研究是從20世紀30年代開始直到60—70年代，受群表示論與環的理論的推動才蓬勃發展起來的。20世紀70年代後，由於分次代數的推動，群代數進入新的階段——交叉積的研究。分次環與模發展的另一動力是交換代數幾何中射影代數簇，20世紀70年代以來，由於非交換代數幾何及群表示論的推動，環論已進入一個新的階段。
戴德金環
理想可以惟一素分解的環。最重要的例子是：數域的整數環、光滑曲線的坐標環。按定義，滿足下述三條件的整環R稱為戴德金環：
1.R是諾特環。
2.R的真素理想均為極大理想。
3.R在其商域F(≠R)中是整閉的。
事實上，對每個戴德金環R及其商域F，總存在F的離散素除子集S使{F，S}為普通算術域而R為S整數環。整環R(≠其商域F)為戴德金環若且唯若其每個真理想均為極大理想的積；也等價於其每個分式理想均可逆，即分式理想全體構成群。戴德金環R在其商域F的有限可分擴張E中的整閉包RE也為戴德金環，且E是RE的商域。
