有限階賦值環

有限階賦值環(valuation ring of finite rank)是賦值環的特殊類。具有有限個非零真素理想的賦值環,稱為有限階賦值環。只有一個非零真素理想的賦值環稱為一階賦值環。若φ為域F的賦值,則φ的階就是它的賦值環的階。

基本介紹

  • 中文名:有限階賦值環
  • 外文名:valuation ring of finite rank
  • 領域:數學
  • 學科:環類
  • 性質:賦值環的特殊類
  • 定義:有限個非零真素理想
環,賦值環,局部環,素理想,

對並與差運算封閉的集類,測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉,即對任何A,B∈F,都有A∪B∈F,A\B∈F,則稱F為Ω上的環。例如,若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集:
的全體構成的集類,則F是R上的一個環.環也是對於交與對稱差運算封閉的集類,並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上,就需要做一系列奠基工作,其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

賦值環

賦值環是一種特殊的局部環。也是重要的交換環類。交換環R稱為賦值環,是指它滿足以下等價條件之一:
1.對任意a,b∈R,恆有a∈Rb或b∈Ra,換言之,必有a整除b或b整除a。
2.R的所有理想(對於包含關係)組成線性序集。
3.R是局部環且任意有限生成理想是主理想.滿足條件3的環也稱為貝祖特環。
賦值環是交換的特殊序列環。它與戴德金環有密切的關係。事實上,交換諾特局部整環是賦值環若且唯若它是戴德金環。賦值環上的模具有良好的分解性質,馬特利斯(Matlis,E.)於1957年證明:賦值環R上任意有限生成模M的內射包E(M)是有限個不可分解內射模的直和,或等價於M有有限哥爾迪維數。賦值環R上任意有限表示模是循環表示模的直和,從而推廣了卡普蘭斯基(Kaplansky,I.)的工作。

局部環

它和半局部環分別是完全準素環和半準素環概念的推廣。環R(≠0)中,若不可逆元(即非單位)集A對於加法是封閉的,則R稱為局部環。以下性質是等價的:
1.R是局部環。
2.R中不可逆元的集A是(雙邊)理想。
3.A是極大左(右)理想。
4.對於任意r∈R,r或1-r必是左(右)可逆元。
5.R的雅各布森根J(R)是極大左(右)理想。
6.R/J(R)是除環。
7.J(R)=A={x∈R|Rx≠R}(x稱為非生成子)。
若R/R(J)是半單的,則稱R是半局部的。局部環的概念對於模的分解性質十分重要。對於任意R模M,若M的自同態環End(M)是局部的,則M是不可分解的。反之,若M是不可分解且是內射的,則End(M)是局部環。東屋五郎(Azumaya,G.)曾利用局部環的概念,把古典的克魯爾-銳瑪克-施密特定理推廣為項數可以是無窮的情形。局部環也具有特殊的同調性質。卡普蘭斯基(Kaplansky,I.)於1958年證明:對於局部環R,任意R投射模是R自由的。

素理想

素理想是一類特殊理想。它是整數環中素數生成理想的推廣。設P是環R的理想,對R中任意理想A,B,若ABP必有AP或BP,則稱P為R的素理想。它等價於對x,y∈R,若xRyP則x∈P或y∈P.當R是交換環時,P是R的素理想若且唯若對R中任意元素a,b,若ab∈P,則a∈P或b∈P.素理想在交換環的理想理論中有重要作用。若對任意環R,a,b∈R,由ab∈P得出a∈P或b∈P,則稱P為R的完全素理想。因此,對交換環來說,素與完全素概念是一致的。

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