魔方矩陣

魔方矩陣又稱幻方，是有相同的行數和列數，並在每行每列、對角線上的和都相等的矩陣。魔方矩陣中的每個元素不能相同。你能構造任何大小（除了2x2）的魔方矩陣。

基本介紹

• 中文名：魔方矩陣
• 別稱：幻方
• 最早記錄於：我國古代的洛書

介紹

在《射鵰》中郭黃二人被裘千仞追到黑龍潭，躲進瑛姑的小屋。瑛姑出了一道題：數字1~9填到三行三列的表格中，要求每行、每列、及兩條對角線上的和都相等。這道題難倒了瑛姑十幾年，被黃蓉一下子就答出來了。

4 9 2

3 5 7

8 1 6

這就是一個最簡單的3階平面魔方。因為魔方的智力性和趣味性，很多遊戲和玩具都與魔方有關，如捉放曹、我們平時玩的六面體，也成為學習編程時的常見問題。

歷史

魔方又稱幻方、縱橫圖、九宮圖，最早記錄於我國古代的洛書。據說夏禹治水時，河南洛陽附近的大河裡浮出了一隻烏龜，背上有一個很奇怪的圖形，古人認為是一種祥瑞，預示著洪水將被夏禹王徹底制服。後人稱之為"洛書"或"河圖"，又叫河洛圖。

南宋數學家楊輝，在他著的《續古摘奇算法》里介紹了這種方法：只要將九個自然數按照從小到大的遞增次序斜排，然後把上、下兩數對調，左、右兩數也對調；最後再把中部四數各向外面挺出，幻方就出現了。 (摘自《趣味數學辭典》)

在西方，阿爾布雷特·丟勒於1514年創作的木雕《憂鬱》是最早關於魔方矩陣的記載。有學者認為，魔方矩陣和風靡一時的鍊金術有關。幾個世紀以來，魔方矩陣吸引了無數的學者和數學愛好者。班傑明·富蘭克林就做過有關魔方矩陣的實驗。

最簡單的魔方就是平面魔方，還有立體魔方、高次魔方等。對於立體魔方、高次魔方世界上很多數學家仍在研究。

每行、每列及對角線之和被稱為魔術常量或魔法總和，M。

其中，n為階數。

例如，如果n=3，則M=[3*(3^2+1)]/2 = 15.

魔方構造

平面魔方的一般定義：將自然數 1 到 N^2， 排列 N 行 N 列的方陣，使每行、每列及兩條主對角線上的 N 個數的和都等於N (N^2+1)/2，這樣的方陣稱為 N 階幻方。

通過搜尋整理後，得到下面的算法：

對平面魔方的構造，分為三種情況：N為奇數、N為4的倍數、N為其它偶數(4n+2的形式)

N 為奇數時

(1) 將1放在第一行中間一列;

(2) 從2開始直到n×n止各數依次按下列規則存放：

按 45°方向行走，如向右上

每一個數存放的行比前一個數的行數減1，列數加1

(3) 如果行列範圍超出矩陣範圍，則迴繞。

例如1在第1行，則2應放在最下一行，列數同樣減1;

(4) 如果按上面規則確定的位置上已有數，或上一個數是第1行第n列時，

則把下一個數放在上一個數的下面。

N為4的倍數時

採用對稱元素交換法。

首先把數1到n×n按從上至下，從左到右順序填入矩陣

然後將方陣的所有4×4子方陣中的兩對角線上的數關於大方陣中心作中心對稱交換（注意是各4×4子方陣對角線上的數）， 即a(i,j)與a(n+1-i,n+1-j)交換，所有其它位置上的數不變。(或者將對角線不變，其它位置對稱交換也可)

N 為其它偶數時

當n為非4倍數的偶數(即4n+2形)時：首先把大方陣分解為4個奇數(2m+1階)子方陣。

按上述奇數階魔方給分解的4個子方陣對應賦值

上左子陣最小(i)，下右子陣次小(i+v)，下左子陣最大(i+3v)，上右子陣次大(i+2v)

即4個子方陣對應元素相差v，其中v=n*n/4

四個子矩陣由小到大排列方式為 ① ③ ④ ②

然後作相應的元素交換：a(i,j)與a(i+u,j)在同一列做對應交換(j<t或j>n-t+2),

注意其中j可以取零。

a(t-1,0)與a(t+u-1,0)；a(t-1,t-1)與a(t+u-1,t-1)兩對元素交換

其中u=n/2，t=(n+2)/4 上述交換使每行每列與兩對角線上元素之和相等。

算法設計

先在矩陣第一行中間的位置上放1，然後把數字按照升序沿著左上角放置到矩陣中。如果越界了，就假設周圍還有一個矩陣，將數字放到那個位置上；如果那個位置已經被占據了，就跳過該位置放到下面的位置，然後重新按照原來的方法放。如圖：在5×5的魔術矩陣中，放完1以後，就把2放到1的左上角，但是此時已經越界了。假設，在原來的矩陣上面還有一個矩陣，則數字2所放的位置應該是在最後一行的第二個位置，接下去就要把數字3放到2的左上角，依次放下去，當放到6的時候，由於1已經將下一個位置占了，所以就放到5下面的位置。依照這樣的規律直到把數字都放完。

魔方函式

Matlab中自動生成魔方矩陣的函式:

magic(n) n是矩陣維數,例如在MATLAB命令視窗輸入

magic(5) ，將隨機產生5階魔方陣。

C語言版的魔方矩陣算法

// 交換void Exchange(int **pj, int tr, int tc, int n) {    n++;    if (1 <= tr && tr <= n / 2 && 1 <= tc && tc <= n) {        pj[tr][tc] += pj[n - tr][n - tc];        pj[n - tr][n - tc] = pj[tr][tc] - pj[n - tr][n - tc];        pj[tr][tc] -= pj[n - tr][n - tc];    }}int main(){    int n, i = 0, j = 0, **pj;    int tr, tc;    printf("輸入魔方矩陣的階層：");        scanf("%d",&n);    // 初始化二維數組    pj = (int**)malloc(sizeof(int **) * (n + 1));    for (i = 0; i < (n + 1); i++)        pj[i] = (int*)malloc(sizeof(int *) *  (n + 1));    // n為奇數時    if (n % 2 == 1) {        // 1.將1放至第一行中間        i = 1; j = n / 2 + 1;        pj[1][n / 2 + 1] = 1;        // 2.沿右上45°，依次放置剩下的數        for (int k = 2; k <= n * n; k++) {            // 行數上移，列數右移，即右上45°移動            tr = i - 1; tc = j + 1;            // 條件一：若超出，則迴繞            if (tr < 1) tr = n;            if (tc > n) tc = 1;            // 條件二：若有數據，則放在上一個數字之下            if (0 < pj[tr][tc] && pj[tr][tc] <= n * n) {                tr = i + 1; tc = j;                if (tr < 0) tr = n;            }            pj[tr][tc] = k;            i = tr; j = tc;        }    }    // n為4的倍數時    else if (n % 4 == 0) {        i = 1; j = 1;        // 1.先將數據從上到下，從左到右填入        for (int k = 1; k <= n * n; k++) {            pj[i][j++] = k;            if (j > n) { j = 1; i++; }        }        // 2.將方陣的所有4*4子方陣中的兩對角線上的數        // 關於大方陣中心作中心對稱交換        i = 1; j = 1;        for (size_t r = 0; r < n / 4 + 1; r++) {            for (size_t c = 0; c < n / 4 + !(r % 2); c++) {                tr = 2 * r + i;                tc = 4 * c + r % 2 * 2 + j;                Exchange(pj, tr, tc, n);                Exchange(pj, tr - 1, tc, n);                Exchange(pj, tr, tc - 1, n);                Exchange(pj, tr - 1, tc - 1, n);            }        }    }    for (i = 1; i <= n; i++) {        for (j = 1; j <= n; j++)            printf("%d\t", pj[i][j]);        printf("\n");    }}

Java版的魔方矩陣算法

/***魔術矩陣，也被稱為魔方矩陣。目前魔術矩陣主要有三種結構：N為奇數、N為4的倍數、N為其它偶數（4n+2）。<br/>*其中目前很多數學家都還在研究“N為4的倍數”、“N為其它偶數（4n+2）”，可見它們對於初學者而言太難。<br/>*因此此處演示的代碼，僅僅考慮N為奇數的情況。<br/>*此代碼作為課件提供給學生參考，在學完數組、循環、判斷後練習。<br/>*@authorluo_wenqiang在126點com*@version1.0.0*/classMagicArray{publicstaticvoidmain(String[]args){/*1.把1放在第一行的最中間2.每個數字向右上角填充3.如果往右已經是最大數了，就從最左邊重新繼續4.如果往上已經是最大數了，就從最下邊重新繼續5.如果遇到行數的整數倍，則下一個數直接放到該數的下面*//*1.聲明一個n*n二維數組2.聲明一個int類型的變數記錄每個元素遞增的值，每次自加即可3.需要一個嵌套循環來填充二維數組3.1.把橫向的索引認為x，x=n/23.2.把縱向的所應認為y，y=03.3.在循環中，先把x、y坐標上的值填充，然後計算下一個坐標*/intn=3;int[][]array=newint[n][n];intcounter=1;//自加的計數器intx=n/2;inty=0;//二維數組，需要用兩層的嵌套循環來完成比較簡單for(inti=0;i<n*n;i++){//根據坐標填充值array[y][x]=counter;//計算下一個坐標的位置if(counter%n==0){//如果counter是n的整數倍，下一個坐標是在當前數字的下面y++;}else{x++;y--;if(y<0){//如果y超出範圍，把y設定成最大y=n-1;}if(x==n){//如果x超出範圍，把x設定成最小x=0;}}//使用完以後計數器需要自加counter++;}for(int[]row:array){for(inti:row){System.out.print(i);System.out.print("\t");}System.out.println();}}}