準素環

準素環

準素環是接近素環的特殊環類。一個有單位元的交換環R,若它最多含一個素理想P,則稱R為準素環。例如,域是準素環。若交換環R的準素理想Q有極大理想M作為其相伴素理想,則R/Q也是準素環。

基本介紹

  • 中文名:準素環
  • 外文名:primary ring
  • 適用範圍:數理科學
定義,性質,素環,

定義

若局部環R的雅各布森根是冪零的,則稱R為完全準素環(completely primary ring)。
完全準素環R上的全矩陣環稱為準素環。
若半局部環R的雅各布森根是冪零的,則稱R為半準素環(semiprimary ring)。
麼環R為左阿廷環若且唯若它既是左諾特又是半準素環。

性質

準素環是接近素環的特殊環類。一個有單位元的交換環R,若它最多含一個素理想P,則稱R為準素環。
例如,域是準素環。
若交換環R的準素理想Q有極大理想M作為其相伴素理想,則R/Q也是準素環。
任意滿足降鏈條件的有1交換環R,可惟一分解為諾特準素環的直和。

素環

[prime ring]
設R為環,P為R的理想。若對於R的任意理想
都有
,則稱P為R的一個素理想(prime ideal)。若零理想是環R的素理想,則稱R為一個素環。
例:非交換整環、單環、(左或右)本原環均為素環。
若環R的理想Q滿足:對於使得
的R的任意理想I都有
,則稱Q是R的半素理想,稱R為半素環(semiprime ring )。環R為半素環若且唯若R為素環的次直積,若且唯若R中所有素理想的交為零。

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