素環

素環是一類重要的環。若環R的零理想是素理想，則稱R為素環。整環、單環、本原環都是素環。素環與素理想有如下關係：P是R的素理想若且唯若R/P是素環。

基本介紹

• 中文名：素環
• 外文名：prime ring
• 適用範圍：數理科學

簡介

設 R 為環，P 為 R 的理想。若對於 R 的任意理想都有，則稱 P 為 R 的一個素理想（prime ideal）。若零理想是環 R 的素理想，則稱 R 為一個素環。例：非交換整環、單環、（左或右）本原環為素環。

若環 R 的理想 Q 滿足：對於使得的任意理想 I 都有，則稱 Q 是 R 的半素理想。若 R 的零理想是半素理想，則稱 R 為半素環（semiprime ring）。環 R 為半素環若且唯若 R 為素環當次直積，若且唯若 R 中所有素理想的交為零。

準素環

定義

若局部環R的雅各布森根是冪零的，則稱R為完全準素環（completely primary ring）。

完全準素環R上的全矩陣環稱為準素環。

若半局部環R的雅各布森根是冪零的，則稱R為半準素環（semiprimary ring）。

麼環R為左阿廷環若且唯若它既是左諾特又是半準素環。

性質

準素環是接近素環的特殊環類。一個有單位元的交換環R，若它最多含一個素理想P，則稱R為準素環。

例如，域是準素環。

若交換環R的準素理想Q有極大理想M作為其相伴素理想，則R/Q也是準素環。

任意滿足降鏈條件的有1交換環R，可惟一分解為諾特準素環的直和。