亨澤爾賦值

亨澤爾賦值(Henselian valuation)是一種特殊的賦值。指域F上的賦值，它在F的任何代數擴張上都只有惟一的拓展。此時，對應的賦值環滿足亨澤爾條件。亨澤爾賦值在研究多項式分解中有重要作用。

基本介紹

• 中文名：亨澤爾賦值
• 外文名：Henselian valuation
• 領域：數學
• 學科：域論
• 性質：一種特殊的賦值
• 提出者：亨澤爾

代數擴張

域擴張是域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為K/F。此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。

若域E是F的擴域，K是E的擴域，則稱E是域擴張K/F的中間域。若K/F是域擴張，S是K的子集，且F(S)是K的含F與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴域。當S={α₁，α₂，…，α_n}是有限集合時，F(α₁，α₂，…，α_n)稱為添加α₁，α₂，…，α_n於F的有限生成擴域(或者F上的有限生成擴張)。它由一切形如f(α₁，α₂，…，α_n)/g(α₁，α₂，…，α_n)的元組成，其中α₁，α₂，…，α_n∈S，f，g是F上的n元多項式且g(α₁，α₂，…，α_n)≠0。

由於這個原因，當F(α₁，α₂，…，α_n)關於F的超越次數≥1時，F(α₁，α₂，…，α_n)也稱為F上的代數函式域。當S={α}時，稱F(α)為F的單擴張域，也稱本原擴域。F的有限代數擴域K是單擴域的充分必要條件是，擴域K與基域間存在有限箇中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。

代數擴張是一類重要的域擴張。設E是F的擴域，若E中元皆為F上的代數元，則稱此域擴張為代數擴張，E稱為F的代數擴域，否則稱為超越擴張，而E稱為F的超越擴域。代數擴張具有傳遞性。當α是F上代數元時，其單代數擴域F(α)同構於F[x]/(p(x))，p(x)是α的最小多項式，(p(x))表F[x]中由p(x)生成的主理想。

環

環是對並與差運算封閉的集類，測度論中重要概念之一。設F是Ω上的一個非空集類。如果它對集的並及差運算封閉，即對任何A，B∈F，都有A∪B∈F，A\B∈F，則稱F為Ω上的環。例如，若F是由實直線R上任意有限個左開右閉的有限區間的並集

的全體構成的集類，則F是R上的一個環。環也是對於交與對稱差運算封閉的集類，並按這兩種運算成為布爾環。要把R上的勒貝格測度和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度以及相應的積分理論推廣到更一般的集合上，就需要做一系列奠基工作，其中之一是建立一些特殊的集類並研究其性質。環以及半環、σ環、代數、σ代數等重要集類正是為了這一目的而引入的。

賦值

環A上的賦值是從A到R的區間[0，+∞]中滿足如下條件的映射v：

a) 若且唯若x=0時，元素x的賦值等於+∞；

b) 對A的元素之任一偶(x，y)，v(xy)=v(x)+v(y)；

c) 對A的元素之任一偶(x，y)，v(x+y)≥inf[v(x)，v(y)]。

有了一種賦值v的環A稱為賦值環。對任一嚴格大於1的實數α，映射x↦αx)是A上的一種絕對值。由這種絕對值定義的拓撲與α無關，稱之為賦值環A的拓撲。

例如，設K[X]為係數取於交換體K中含一個未定元的多項式環。若映射v₀使零多項式對應於+∞，而使任一非零多項式P對應於使該多項式P的係數不為零的最小下標(自然數)n。則v₀是K[X]上的賦值，稱為典範賦值。

更一般地，設R為係數取自K中的非零有理分式，而α為K的元素. 則存在唯一的由有理整數n與有理分式S構成的偶(n，S)，使R=(X-α)nS，α在S中是可置換的，並且對應S的有理函式在點α不為零。有理整數n叫做R在點α的賦值，且記為vα(R)。

當R為多項式，而α=0時，R在點α的賦值就是多項式R的賦值。

人物簡介

亨澤爾是德國數學家。生於柯尼斯堡，卒於馬爾堡。早年在波恩大學和柏林大學學習，得到李普希茨、外爾斯特拉斯和克羅內克等名師的指導。1884年獲哲學博士學位。之後到柏林大學任教，1886年取得講師資格。1901年被聘為馬爾堡大學教授，並擔任《純粹與套用數學雜誌》的編輯。亨澤爾的主要貢獻在函式論、代數學、數論等方面。在函式論方面，他和克羅內克建立的克羅內克—亨澤爾法則提供了代數函式域的算術基礎。在代數學方面，他證明了矩陣的最小多項式的唯一性。他提出了p-進數的概念，並將其發展為一套完整的理論，還把該理論套用於二次型和數論的研究。這項工作導致賦值論以及局部域理論的發展。他還是哈塞原理(即局部—全局原理)最早的奠基者，他的學生哈塞發展了p-進數理論。亨澤爾的代表作有《代數函式論》(1902)、《代數數論》(1908)和《數論》(1913)等。克羅內克去世後，他參與編輯其全集。