同構

在抽象代數（abstract algebra)中，同構(isomorphism)指的是一個保持結構的雙射(bijection)。在更一般的範疇論語言中，同構指的是一個態射，且存在另一個態射，使得兩者的複合是一個恆等態射。

基本介紹

• 中文名：同構
• 外文名：isomorphism
• 套用學科：抽象代數
• 常見同構：群同構、環同構等
• 套用：代數運算
• 定義：保持結構的雙射

定義

一個 與 間的一一映射 是一個對於代數運算 和 來說的 與 間的同構映射，簡稱同構，假如在 之下，不管a,b是A的哪兩個元，只要 ，就有 。

常見的同構有：自同構，群同構，環同構，域同構，向量空間同構

其中自同構定義為：存在E和F兩個集合，且對於E、F各存在一種運算，我們記作（符號可更換）*和·，對於E、F，*、·分別封閉（即對於任意兩個集合內的元素，進行運算之後依然為該集合的元素，詳情見群論）。我們說f是一個同構若且唯若f∈Γ（E,F） 和f是一個雙射且對於E內的任意元素a，b都有f(a*b)=f(a)·f(b)。如果上面所描述的E、F為同一集合E，則說f是一個自同構。

正式表述

同構是在數學對象之間定義的一類映射，它能揭示出在這些對象的屬性或者操作之間存在的關係。若兩個數學結構之間存在同構映射，那么這兩個結構叫做“是同構的”。一般來說，如果忽略同構對象的屬性或操作的具體定義，單從結構上講，同構的對象是完全等價的。

假設M，M′是兩個乘集，也就是說M和M′是兩個各具有一個閉合的結合法（一般寫成乘法）的代數系，σ是M射到M′的雙射，並且任意兩個元的乘積的像是這兩個元的像的乘積，即對於M中任意兩個元a,b滿足σ（a·b）=σ（a）·σ（b）；也就是說，當a→σ（a），b→σ（b）時，a·b→σ（a）·σ（b）；那么這映射σ就叫做M到M′上的同構。又稱M與M′同構，記作M～M′。

目的

在數學中研究同構的主要目的是為了把數學理論套用於不同的領域。如果兩個結構是同構的，那么其上的對象會有相似的屬性和操作，對某個結構成立的命題在另一個結構上也就成立。因此，如果在某個數學領域發現了一個對象結構同構於某個結構，且對於該結構已經證明了很多定理，那么這些定理馬上就可以套用到該領域。如果某些數學方法可以用於該結構，那么這些方法也可以用於新領域的結構。這就使得理解和處理該對象結構變得容易，並往往可以讓數學家對該領域有更深刻的理解。

性質

對於

假定對於代數運算來說與同構，那么對於代數運算來說與沒有什麼本質性的區別，只有命名上的不同，若一個集合有一個只於這個集合的代數運算有關的性質，那么另一個集合有一個完全類似的性質。