態射

數學上，態射（morphism）是兩個數學結構之間保持結構的一種過程抽象。

最常見的這種過程的例子是在某種意義上保持結構的函式或映射。例如，在集合論中，態射就是函式；在群論中，它們是群同態；而在拓撲學中，它們是連續函式；在泛代數（universal algebra）的範圍，態射通常就是同態。

基本介紹

• 中文名：態射
• 外文名：morphism
• 數學定義：兩數學結構保持結構的過程的抽象
• 特點：態射不必是函式
• 套用學科：數學
• 所屬領域：集合論和拓撲學

定義

一個範疇C由兩個類給定：一個對象的類和一個態射的類。

有兩個操作定義在每個態射上，域（domain，或源）和陪域（codomain，或目標）。

態射經常用從域到他們的陪域的箭頭來表示，例如若一個態射f域為X而陪域為Y，它記為f:X→Y。所有從X到Y的態射的集合記為hom_C(X,Y)或者hom(X,Y)。（有些作者採用Mor_C(X,Y)或Mor(X,Y)）。

對於任意三個對象X，Y，Z，存在一個二元運算hom(X,Y)×hom(Y,Z) → hom(X,Z)稱為複合。f:X→Y和g:Y→Z的複合記為 或gf（有些作者採用fg）。態射的複合經常採用交換圖來表示。例如

態射必須滿足兩條公理：

（1）存在恆等態射：對於每個對象X，存在一個態射id_X:X→X稱為X上的恆等態射，使得對於每個態射f:A→B我們有 。

（2）滿足結合律： 在任何操作有定義的時候。

當C是一個具體範疇的時候，複合只是通常的函式複合，恆等態射只是恆等函式，而結合律是自動滿足的。（函式複合是結合的。）

注意域和陪域本身是決定態射的信息的一部分。例如，在集合的範疇，其中態射是函式，兩個函式可以作為有序對的集合相等，但卻有不同的陪域。這些函式從範疇論的目的來說被視為不同。因此，很多作者要求態射類hom(X,Y)是不交的。實際上，這不是一個問題，因為如果他們不是不交的，域和陪域可以加到態射上，（例如，作為一個有序三元組的第二和第三個分量），使得它們不交（互斥，disjoint）。

對態射和它們定義於其間的結構(或對象)的抽象研究構成了範疇論的一部分。在範疇論中，態射不必是函式，而通常被視為兩個對象(不必是集合 )間的箭頭。不象映射一個集合的元素到另外一個集合，它們只是表示域(domain)和陪域(codomain)間的某種關係。

儘管態射的本質是抽象的，多數人關於它們的直觀(事實上包括大部分術語)來自於具體範疇的例子，在那裡對象就是有附加結構的集合而態射就是保持這種結構的函式。

態射的類型

（1）同構（isomorphism）:令f:X→Y為一個態射。若存在態射g:Y→X使得和成立，則f稱為一個同構。g稱為f的逆態射，逆態射g如果存在就是唯一的，而且顯而易見g也是一個同構，其逆為f。兩個對象之間有一個同構，那么這兩個對象稱為同構的或者等價的。同構是範疇論中態射的最重要種類。

（2）滿同態（epimorphism）：一個態射f:X→Y稱為一個滿同態，如果對於所有Y→Z的態射g₁，成立。這也稱為epi或epic.具體範疇中的滿同態通常是滿射（surjective）函式，雖然並不總是這樣。

（3）單同態（monomorphism）：態射f:X→Y稱為單同態，如果對於所有Z→X的態射g₁，g₂，成立。它也稱為mono或者monic.具體範疇中的單同態通常為單射（injective）函式。

（4）雙同態（bimorphism）：若f既是滿同態也是單同態，則稱f為雙同態（bimorphism）。

注意每個同構都是雙同態，但不是每個雙同態都是同構。例如，交換環的範疇中，包含映射Z → Q是一個雙同態，但不是一個同構。如果在一個範疇中每個雙同態都是同構，則這個範疇稱為一個平衡範疇。例如，集合是一個平衡範疇。

（5）自同態（endomorphism）：任何態射f:X→X稱為X上的一個自同態。

（6）自同構（automorphism）：若一個自同態也是同構的，那么稱之為自同構。

（7）若f:X→Y和g:Y→X滿足可是證明f是滿的而g是單的，而且 :X→X是冪等的。這種情況下，f和g稱為分割（split）.f稱為g的收縮（retraction）而g稱為f的截面。任何既是滿同態又是分割單同態的態射，或者既是單同態又是分割滿同態的態射必須是同構。

例子

• 在泛代數中研究的具體範疇（例如群，環，模，等等），態射稱為同態。術語同構，滿同態，單同態，自同態，和自同構也都適用於這個特殊範圍。
  
• 在拓撲空間範疇，態射是連續函式，而同構稱為同胚。
  
• 在光滑流形範疇中，態射是光滑函式而同構稱為微分同胚。
  
• 函子可以視為小範疇的範疇中的態射。
  
• 在函子範疇中，態射是自然變換。