單位態射

單位態射(unit morphism)亦稱可逆態射，是集合範疇中單位映射(可逆映射)概念的推廣。設f:A→B為範疇C中的態射，若有態射u使uf=ε_A(A上的恆等態射)，則稱f為左可逆態射，稱u為f的左逆態射。若有態射v使fv=ε_B，則稱f為右可逆態射，稱v為f的右逆態射。若f同時為左可逆態射與右可逆態射，就稱f為單位態射。當f是單位態射時，上述的u=v。因此單位態射又稱為等價態射。

基本介紹

• 中文名：單位態射
• 外文名：unit morphism
• 別稱：可逆態射
• 簡介：集合範疇中單位映射概念的推廣
• 所屬學科：數學（範疇論）
• 相關概念：單態射，滿態射等

定義

設是範疇，，如有，使得

則稱等價(或同構)。滿足上述條件的叫做單位態射(或同構態射)。

相關概念

等價態射

等價態射(equivalent morphism)亦稱同構態射，它是群論、環論、模論中同構概念的推廣，因此也簡稱同構。在範疇中可用它們將其對象類分成等價類進行研究，因此起著重要的作用，設C為範疇， ，若有 使 且 (ε表恆等態射)，則 都稱為等價態射且互稱為逆態射，此時稱對象 為等價的。等價態射一定是單位態射，反之亦然。等價態射之逆是惟一的。

單態射

單態射是集合範疇 中單射概念的推廣，它與滿態射是互為對偶的概念。範疇C中的態射 ，若有左可消性質，即對使態射合成有意義的態射 ，由 可斷定 ，則稱 為C中的單態射，若 為單態射,則 必為單態射；單態射的合成仍為單態射；單位態射必為單態射；甚至左可逆態射也是單態射。

滿態射

滿態射是集合範疇中滿射概念的推廣，它是單態射的對偶概念。範疇C中的態射 ，若有右可消性質，即由態射合成 可斷定 ，則稱 為C中的滿態射，若 為滿態射，則 為滿態射；滿態射的合成仍為滿態射；單位態射必是滿態射,甚至右可逆態射也是滿態射。在群範疇中滿態射即滿同態；在環範疇中滿同態為滿態射，但反之不真。

雙態射

雙態射是集合範疇中雙射概念的推廣，在範疇中同時為單態射與滿態射的態射稱為雙態射。換言之，雙態射即滿足左可消與右可消的態射，在群範疇與阿貝爾群範疇等範疇中，雙態射就是滿單同態(同構)。單位態射一定是雙態射，但反之一般不真，在阿貝爾範疇中雙態射即單位態射。

阿貝爾範疇

阿貝爾範疇(Abelian category)是一種特殊的加性範疇，因此具有更豐富的性質。一個加性範疇C稱C為阿貝爾範疇，若再滿足下述三條件：

1.任何態射f都有核kerf與上核coker f；

2.任何單(滿)態射都是其上核(核)的核(上核)；

3.任何態射σ都可分解為一個單態射η與一個滿態射π的合成σ=ηπ(稱為σ的標準分解式)。

阿貝爾群範疇、環R上的R模範疇都是阿貝爾範疇，阿貝爾範疇具有加性範疇的一切性質，阿貝爾範疇的對偶範疇仍為阿貝爾範疇，阿貝爾範疇中既單且滿的態射是單位態射，阿貝爾範疇在同調代數及代數幾何中都是最常用的一類範疇。

態射的核

態射的核(kernel of a morphism)是群論中同態核概念的推廣(不過在群論中同態核是一個正規子群，而在群範疇中則是指此正規子群及其在群中的嵌入同態)，態射的核是態射的上核之對偶概念。設範疇C有零對象(因而有零態射0)，f∈Hom(A，B)，所謂f的核ker f，是指C的一個對象K與一個態射η∈Hom(K，A)組成的對(K，η)，它滿足：1.η為單態射；2.fη=0；3.對任何g∈Hom(D，A)，只要fg=0就必有τ∈Hom(D，K)使ητ=g (條件1可去掉，但在3中須強調“必有惟一的τ”)。

若f的核存在，則在等價意義下是惟一的，有時為強調態射也可不提K而稱η為f的核，因此，單態射的核是零態射0，零態射的核是單位態射。

態射的上核

態射的上核(cokernel of a morphism)是群論中同態的上核概念的推廣(不過，在群論中同態的上核是指一個商群，而在群範疇中是指此商群及群到此商群的滿同態)，態射的上核是態射的核的對偶概念。設範疇C有零對象(因而有零態射0)，f∈Hom(A，B)，所謂f的上核coker f，是指C的一個對象W與一個態射π∈Hom(B，W)組成的對(W，π)，它滿足：1.π是滿態射；2.πf=0；3.對任何的g∈Hom(B，C)，只要gf=0就必有τ∈Hom(W，C)使τπ=g (條件1可去掉，但在條件3中須強調“必有惟一的τ”)。

在等價意義下，f的上核如存在必惟一.，有時為強調態射也可不提W而稱π為f的上核，且記為coker f=π，因此，滿態射的上核是零態射0，零態射的上核是單位態射。