簡介
在數學研究中,人們往往通過不同的方法來比較所研究的數學對象,例如在範疇論中,利用同構和等價來刻劃兩個研究對象是相同和等價的,然而同構和等價都是比較強的條件,伴隨函子是用更弱的條件來研究對象之間的關係。伴隨函子的概念最先是由坎(Kan, D.M.)於1958年提出來的,此後伴隨函子理論被廣泛套用於範疇、環與模論等研究領域,正如Saunders Mac Lane宣稱的那樣:伴隨函子無處不在,現在它已成為代數學的重要概念及工具之一。
伴隨函子等價定義
單位泛態射形式定義
給定兩個函子F:C→D與G:D→C,自然變換η:1c→GF。F┤G稱為伴隨對,若對任意C∈C,D∈D,f:C→GD,存在惟一的g:FC→D,使得f=G(g)ηc。即
類似的,可以定義余單位泛態射來定義伴隨。
余單位泛態射形式定義
給定兩個函子F:C→D與G:D→C,自然變換δ:FG→1D。F┤G稱為伴隨對,若對任意C∈C,D∈D,g:FC→D,存在惟一的f:C→GD,使得g=δDF(f)。即
單位余單位形式定義
給定兩個函子F:C→D與G:D→C,兩個自然變換η:1c→GF,δ:FG→1D。F┤G稱為伴隨對,若對任意C∈C,D∈D,有下面的交換圖
即δF·Fη=1F,Gδ·ηG=1G。
Hom-Set形式定義
兩個函子F:C→D與G:D→C稱為伴隨對,若每對對象(C,D),其中C∈C,D∈D,存在一個同構
ψ=ψC,D:D(FC,D)≅C(C,GD)。
注1:HomD(FC,D)常簡記為D(FC,D)=(FC,D)D=(FC,D)。
注2:ψ是雙射,且在C,D處是自然的,所以HomD(FC,D)事實上是一個雙函子,對所有的f:C″→C,g:D→D′,有下面兩個交換圖(*)
伴隨函子的一個例子
伴隨函子在範疇論與表示論中有著廣泛套用,如單子余單子、Recollement等概念都是由伴隨函子給出的,下面是關於伴隨函子的一個重要例子。設B∈SMR,B⊗R-是RM到SM張量函子,HomS(B,-)是SM到RMHom函子ψ:HomS(B⊗RA,C)→HomR(A,HomS(B,C))是同構態射,並且對任意α∈Hom(A,A′),γ∈Hom(A,A′),有交換圖
因此,(B⊗R-,HomS(B,-))是一對伴隨函子。