等價範疇

等價範疇，即範疇的等價。在數學的一個抽象分支範疇論中，範疇的等價（equivalence of categories）是兩個範疇間的一個關係，在這種關係之下的範疇是“本質上一樣的”。從數學的許多地方都有範疇等價的例子。

基本介紹

• 中文名：等價範疇
• 外文名：equivalent categories
• 別稱：範疇的等價
• 領域：範疇論

簡介

在數學的一個抽象分支範疇論中，範疇的等價（equivalence of categories）是兩個範疇間的一個關係，在這種關係之下的範疇是“本質上一樣的”。從數學的許多地方都有範疇等價的例子。建立一個等價涉及展示所考慮的數學結構間很強的相似性。

如果一個範疇等價於另一個範疇的反範疇，則我們說“範疇的對偶性”，以及這兩個範疇對偶等價。範疇的等價由所涉範疇的一個函子組成，這個函子要求有一個“逆”函子。但與通常代數語境的同構不同，這個函子與它的逆不必是恆等映射，二隻要每個對象自然同構與在此符合函子下的像。從而我們可以說這個函子是差一個同構下的逆。這實際上是範疇的同構的概念，其中要求逆函子的嚴格性質，但這比“等價”概念用得要少。

定義

正式定義為，給定兩個範疇C與D，一個範疇等價包括函子F:C→D，函子G:D→C，以及兩個自然同構 ε:FG→I_D與 η:I_C→GF。這裡FG:D→D與GF:C→C分別為F與G的複合，而I_C:C→C與I_D:D→D分別為C與D的恆同函子。如果F與G是反變函子我們則說範疇的對偶。

通常我們不指出如上所有數據。例如，我們說範疇C與D是等價的（對偶等價）如果它們之間存在一個等價（對偶等價）。進一步，我們說F是一個範疇的等價如果如上逆函子G以及自然同構存在。但要注意F所具有的信息不足以構造G以及自然同構：存在許多不同的選擇（見下面的例子）。

等價的刻畫

可以證明函子F:C→D給出範疇的等價若且唯若它是：

• 完全，即給定C的任何兩個對象c₁與c₂，由F給出的映射 Hom_C(c₁,c₂) → Hom_D(Fc₁,Fc₂) 是滿射。
  
• 忠實，即對C的任何兩個對象c₁與c₂，由F給出的映射 Hom_C(c₁,c₂) → Hom_D(Fc₁,Fc₂) 是單射；
  
• 本質滿，即D中每個對象d同構與某個形如Fc的對象。
  

這是一個相當有效和常用的判別法，因為不必真正構造出逆G以及FG，G'與恆同函子之間的自然同構。另一方面，儘管上面性質保證了範疇等價的存在性（假定背景集合論具有一個足夠強的選擇公理），缺少的數據沒有完全確定，通常有許多選擇。只要可能，給出缺少的構造是個好主意。正因為如此，具有這些性質的函子有時叫做範疇的弱等價（不幸地是這個術語與同倫論衝突）。

它與伴隨函子概念也有緊密聯繫。如下論斷對函子F:C→D與G:D→C等價:

• 存在從FG到I_D與從I_C到GF的自然同構，分別叫做余單位與單位。
  
• F是G的一個左伴隨且兩個函子都完全且忠實。
  
• F是G的一個右伴隨且兩個函子都完全且忠實。
  

從而我們可以將兩個函子之間的伴隨關係視為“非常弱的等價”。假設伴隨的自然變化已經給定，所有這些確保了一個明確的構造，且不需要選擇原理。關鍵性質是需要證明伴隨的余單位是同構若且唯若右伴隨是完全且忠實的函子。

例子

考慮範疇只有一個對象以及一個態射，以及範疇具有兩個對象，以及四個態射：兩個恆同態射，以及兩個態射與。範疇與是等價的；我們可以（權為一例）構造將映為與將的兩個對象映為以及所有態射映為。

相比之下，只有一個對象與一個態射的範疇與具有兩個對象與兩個恆同態射從而這兩個對象不同構的範疇不等價。

考慮一個範疇，有一個對象，以及兩個態射。令為的恆同映射，設。當然等價於自己，在所有需要自然同構的地方可以取，便給出函子與自己自然同構。但是同樣給出到自己的一個自然同構，儘管恆同函子是一個範疇同構，在這個例子中我們仍然可以選取每個方向的自然同構。

考慮有限維實向量空間範疇，以及所有實矩陣範疇（後一二範疇在可加範疇中有解釋）。則與是等價的：函子將中每個對象映為向量空間，而中矩陣到對應線性映射是完全、忠實且本質滿的。

代數幾何的中心論題是仿射概形與交換環的對偶性。函子將每個交換環映射它的譜，概形定義為此環的主理想。其伴隨將每個仿射概形映為它的環的整體截面。

在泛函分析中，有單位的交換C*-代數反變等價於緊豪斯多夫空間範疇。在這個對偶下，每個緊豪斯多夫空間對應於上的連續復值函式代數，而每個交換 C*-代數對應於它的極大理想空間。這就是蓋爾范德表示。

在格理論中，有不少對偶，基於將某些格類與拓撲空間類聯繫起來的表示定理。可能最有名的這類定理是布爾代數的斯通表示定理，這是一般概念斯通對偶性的特例。每個布爾代數映為的超濾子集合上的一個特定的拓撲。反之，任何開閉子集上的拓撲給出一個布爾代數。我們得到了布爾代數（與他們的同態）範疇與斯通空間（與光滑映射）。斯通對偶性的另一種情形是伯克霍夫表示定理指出有限偏序與有限分布格之間的對偶性。

在無點拓撲學中，空間局部（spatial locale）範疇等價於樸素空間（sober space）的對偶。

性質

大概說來，一個範疇等價保持所有範疇性概念與性質。如果F:C→D是一個等價，則如下論斷都成立：

• C的對象c是一個始對象（或終對象，或零對象）若且唯若Fc'是D的一個始對象（或終對象，或零對象）若且唯若。
  
• C中態射 α 是單態射（或滿態射或同構），若且唯若Fα是D中單態射（或滿態射或同構）。
  
• 函子H:I→C有極限（或余極限）若且唯若函子FH:I→D有極限（或余極限）Fl。這可以用於等化子、乘積與余乘積，等等。套用於核與余核，我們發現等價F是一個正合函子。
  
• C是一個笛卡兒閉範疇（或一個拓撲斯）若且唯若D是笛卡兒閉（或拓撲斯）。
  

對偶性將所有概念對換過來：它們將始對象變成終對象，單態射變成滿態射，核變成余核，極限變成余極限，等等。

如果F:C→D是一個範疇等價，而G₁與G₂是兩個逆，則G₁與G₂是自然同構的。

如果F:C→D是一個範疇等價，若C是一個預可加範疇（或可加範疇，或阿貝爾範疇），則D可以變成預可加範疇（或可加範疇，或阿貝爾範疇）並使F成為可加函子。另一方面，可加範疇之間的任何等價必然可加。（注意後一個論斷對預可加範疇的等價不成立。）

一個範疇C的自等價是一個等價F:C→C。如果我們將兩個自然同構的自等價視為一樣的，則C的自等價在複合下構成一個群。這個群抓住了C的本質對稱。（注意：如果C不是小範疇，則C的自同構可能是一個真類而不是集合。)