始對象

始對象(initial object)是範疇論的基本概念之一，指在範疇論中起著特殊作用的一類對象，是終對象的對偶概念，它們都是零對象的推廣。設C為範疇，A∈C，若對一切B∈C，Hom(A，B)都只有一個元素，則稱A為範疇C的始對象，C的任何兩個始對象必是等價(同構)的。例如，阿貝爾群範疇的始對象為0(零群)。

基本介紹

• 中文名：始對象
• 外文名：initial object
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：範疇論的基本概念之一
• 相關概念：終對象、零對象等

定義

(1) 設是範疇，，若對於，都是僅含單獨一個元素的集，則稱為的始對象(initial object)。

(2) 設是範疇，，若對於，都是僅含單獨一個元素的集，則稱是的終對象(terminalobject)。

(3) 若既是始對象又是終對象，則稱是的一個零對象(null object)。

相關定理

定理1 (1)若是範疇的一個終(始)[零]對象，是範疇的一個終(始)[零]對象。

(2) 若範疇有始(終)[零]對象，則各個始(終)[零]對象必是等價對象，因而從同構的觀點看它們都是唯一的。

定理2 在一個範疇中的始對象與終對象是對偶的，從而零對象是自對偶的。

證明：設表示範疇中始對象的定義。於是

：是中的始對象，假若對於中的每一，恰有一個成員。

：是中驗始對象，假若對於中的每一對象恰有一個成員。

：是中的終對象，假若對於中的每個，恰有一個。

命題3 設是範疇，若中的對象都是始(或終)對象，則。

證明： 若中的對象都是始對象，則都是單元集。設，於是，注意，並且是始對象，所以。同理。綜上所證，可知。

舉例分析

例1在集範疇Set中空集是始對象但不是終對象，單元集是終對象但不是始對象；每個單元素集如是一個終對象而不是始對象，可以證明，它沒有零對象。

例2 在範疇Grp和Ab中僅含一個元素的群(當群的複合運算是乘法時是)既是它們的始對象也是它們的終對象，因而是它們的零對象。在範疇Grp中，平凡群是零對象。