零對象

零對象(zero object)是一個特殊的對象，它在範疇論中起著特別重要的作用，一個範疇中同時為始對象與終對象的對象稱為零對象。一般地，一個範疇的零對象(始對象、終對象)未必存在，但對一些常用範疇，如預加性範疇(因此對加性範疇、阿貝爾範疇)是有零對象的，若一個範疇的零對象存在，則在等價意義下是惟一的，例如，零群0為阿貝爾範疇的惟一零對象。

基本介紹

• 中文名：零對象
• 外文名：zero object
• 所屬學科：數學（範疇論）
• 特點：同時為始對象與終對象的對象
• 相關概念：始對象，終對象，範疇等

定義

設是一個範疇。

1) 如果滿足：對於任意的恰由一個元素組成，則稱A為中的一個初始對象（始對象）；

2) 如果對於任意的恰由一個元素組成，則稱A為中的一個末端對象（終對象）；

3) 如果A既是中的初始對象，又是末端對象，則稱A為的一個零對象。

如果有零對象，則稱為具有零對象的範疇。

設為具有零對象0的一個範疇，X和Y是中任意兩對象，則有唯一的態射

和

於是，有複合態射

即

態射稱為零態射，記為。

例1 在中是一個初始對象；任一單元素集是一個末端對象；但無零對象。

例2 1)平凡(即一個元素的)BCK-代數是中的一個零對象；

2)平凡-代數是中的一個零對象；

3)平凡BCH-代數是中的一個零對象；

4)平凡(2，0)型代數是中的一個零對象；

5)平凡群是中的一個零對象。

例3 在中，零態射正是通常的零同態映射。

在及中都可得到此類似結果，這正是將稱為零態射的一個原因。

相關定理

下面介紹關於零對象和零態射的兩個簡單結果。

定理1 在一個範疇中，一切初始對象是同構的，一切末端對象是同構的；如果有零對象，則一切零對象是同構的。

定理2設是具有零對象0的一個範疇，則對於中的任何態射和，有

且

圖1

證明：1)證(1)中第一式。由圖1，其中和分別是和中唯一的態射，且，顯然，。從而，

2) (1)中第二式可類似地證明。