態射

態射

數學上,態射(morphism)是兩個數學結構之間保持結構的一種過程抽象。

最常見的這種過程的例子是在某種意義上保持結構的函式映射。例如,在集合論中,態射就是函式;在群論中,它們是群同態;而在拓撲學中,它們是連續函式;在泛代數(universal algebra)的範圍,態射通常就是同態

基本介紹

  • 中文名:態射
  • 外文名:morphism
  • 數學定義:兩數學結構保持結構的過程的抽象
  • 特點:態射不必是函式
  • 套用學科:數學
  • 所屬領域:集合論和拓撲學
定義,態射的類型,例子,

定義

一個範疇C由兩個給定:一個對象的類和一個態射的類。
有兩個操作定義在每個態射上,(domain,或源)和陪域(codomain,或目標)。
態射經常用從域到他們的陪域的箭頭來表示,例如若一個態射f域為X而陪域為Y,它記為f:XY。所有從XY的態射的集合記為homC(X,Y)或者hom(X,Y)。(有些作者採用MorC(X,Y)或Mor(X,Y))。
對於任意三個對象XYZ,存在一個二元運算hom(X,Y)×hom(Y,Z) → hom(X,Z)稱為複合。f:XYg:YZ的複合記為
gf(有些作者採用fg)。態射的複合經常採用交換圖來表示。例如
態射
態射必須滿足兩條公理
(1)存在恆等態射:對於每個對象X,存在一個態射idX:XX稱為X上的恆等態射,使得對於每個態射f:AB我們有
(2)滿足結合律
在任何操作有定義的時候。
C是一個具體範疇的時候,複合只是通常的函式複合,恆等態射只是恆等函式,而結合律是自動滿足的。(函式複合是結合的。)
注意域和陪域本身是決定態射的信息的一部分。例如,在集合的範疇,其中態射是函式,兩個函式可以作為有序對的集合相等,但卻有不同的陪域。這些函式從範疇論的目的來說被視為不同。因此,很多作者要求態射類hom(X,Y)是不交的。實際上,這不是一個問題,因為如果他們不是不交的,域和陪域可以加到態射上,(例如,作為一個有序三元組的第二和第三個分量),使得它們不交(互斥,disjoint)。
對態射和它們定義於其間的結構(或對象)的抽象研究構成了範疇論的一部分。在範疇論中,態射不必是函式,而通常被視為兩個對象(不必是集合 )間的箭頭。不象映射一個集合的元素到另外一個集合,它們只是表示域(domain)和陪域(codomain)間的某種關係。
儘管態射的本質是抽象的,多數人關於它們的直觀(事實上包括大部分術語)來自於具體範疇的例子,在那裡對象就是有附加結構的集合而態射就是保持這種結構的函式。

態射的類型

(1)同構(isomorphism):令f:XY為一個態射。若存在態射g:YX使得
成立,則f稱為一個同構g稱為f的逆態射,逆態射g如果存在就是唯一的,而且顯而易見g也是一個同構,其逆為f。兩個對象之間有一個同構,那么這兩個對象稱為同構的或者等價的。同構是範疇論中態射的最重要種類。
(2)滿同態(epimorphism):一個態射f:XY稱為一個滿同態,如果對於所有YZ的態射g1
成立。這也稱為epiepic.具體範疇中的滿同態通常是滿射(surjective)函式,雖然並不總是這樣。
(3)單同態(monomorphism):態射f:XY稱為單同態,如果對於所有ZX的態射g1g2
成立。它也稱為mono或者monic.具體範疇中的單同態通常為單射(injective)函式。
(4)雙同態(bimorphism):若f既是滿同態也是單同態,則稱f為雙同態(bimorphism)。
注意每個同構都是雙同態,但不是每個雙同態都是同構。例如,交換環的範疇中,包含映射Z → Q是一個雙同態,但不是一個同構。如果在一個範疇中每個雙同態都是同構,則這個範疇稱為一個平衡範疇。例如,集合是一個平衡範疇。
(5)自同態(endomorphism):任何態射f:XX稱為X上的一個自同態
(6)自同構(automorphism):若一個自同態也是同構的,那么稱之為自同構。
(7)若f:XYg:YX滿足
可是證明f是滿的而g是單的,而且
:XX冪等的。這種情況下,fg稱為分割(split).f稱為g的收縮(retraction)而g稱為f的截面。任何既是滿同態又是分割單同態的態射,或者既是單同態又是分割滿同態的態射必須是同構。

例子

  • 泛代數中研究的具體範疇(例如,環,,等等),態射稱為同態。術語同構,滿同態,單同態,自同態,和自同構也都適用於這個特殊範圍。
  • 在拓撲空間範疇,態射是連續函式,而同構稱為同胚
  • 在光滑流形範疇中,態射是光滑函式而同構稱為微分同胚。
  • 函子可以視為小範疇的範疇中的態射。
  • 在函子範疇中,態射是自然變換。

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