基本介紹
- 中文名:群
- 外文名:group
- 含義:數學概念
- 例子:置換群,一般線性群等
- 相關定義:阿貝爾群、同態、共軛類等
- 性質:封閉性、結合律、單位元和逆元
定義,簡單例子,置換群,一般線性群,相關定義,阿貝爾群,同態,共軛類,
定義
4. 逆元:
,
,使得
,
稱為
的逆元,記為
。(逆元具有唯一性,即:由
可以推出
)
![](/img/b/2bc/c83fc341b44b3bb0bf3328f942b9.jpg)
![](/img/d/0e1/699dc4aebb0546c56d99f3bd2320.jpg)
![](/img/6/e84/6eb93234ace0bfd76590181186fb.jpg)
![](/img/8/ac7/10451595fc88c66770ddfc03bb5c.jpg)
![](/img/c/92c/cc8b8865dbc836480c40bf54c033.jpg)
![](/img/0/65e/63a0ca7777c020b43e5e727dccbc.jpg)
![](/img/b/b76/c1f76cd104713ce638b67d1d1699.jpg)
![](/img/8/b34/b1523108f5d65a2ba2bddb189438.jpg)
則
稱為一個群,或乘法群。
![](/img/b/17f/bd8d144461a512a185ce38902e58.jpg)
有時由於上下文的原因,群上的二元運算亦可稱為加法,此時該運算通常記為
,群元素的運算也被記為如同
的形式,而群也可被稱為加法群。此種情況下,往往加法還有可交換的性質。
![](/img/6/00e/3acfe340b970cdd5b8fa94ab3636.jpg)
![](/img/7/ae8/2df6cdd78e9c1d972827e6ba6c35.jpg)
簡單例子
例1
![](/img/5/33c/75e7cf42a66cf029d4382b8e9c1e.jpg)
證:1)封閉性:1×1=1 (-1)×(-1)=1 (-1)×1=-1 1×(-1)=-1
2)結合律:成立
3)單位元:1
4)逆元素:1的逆元是1,-1的逆元是-1
例2
![](/img/c/efd/d1dd009736b13f969e634365d00c.jpg)
證:1)封閉性:除以n的餘數只能是
,故封閉性成立
![](/img/e/b10/21b3461887103972789473448913.jpg)
2)結合律:成立
3)單位元:0
4)逆元素:對任意元素a有
,a的逆元![](/img/8/c56/21058227aa9904328c898411fb7b.jpg)
![](/img/b/68d/ae53221dcce1529a751d83b11c82.jpg)
![](/img/8/c56/21058227aa9904328c898411fb7b.jpg)
置換群
例集合
的三個元素置換群組成
.
![](/img/5/464/91f8844328b69bb77b1947518dad.jpg)
![](/img/8/65e/06ce5077343092ac6c5feb594af8.jpg)
一般線性群
這個群稱為一般線性群,記為
。
![](/img/a/702/9056e193b71ea123d696597813d7.jpg)
相關定義
阿貝爾群
則稱群
為阿貝爾群,也稱為加法群。
![](/img/7/f69/40c3de3e24f14a5950f2b0b0fd0b.jpg)
例如,群
就是一個阿貝爾群;群
和
亦然。
![](/img/b/812/d7cb49ca3894e674101e7210c8ee.jpg)
![](/img/f/b87/7ac632750e90c224997766aa3816.jpg)
![](/img/5/a6c/3c9994f24d308b810000323e4fe7.jpg)
同態
若對於兩個群
和
,有映射
滿足以下條件:
![](/img/7/f69/40c3de3e24f14a5950f2b0b0fd0b.jpg)
![](/img/6/0b0/554b32a0e8efc8053a6fc806eca5.jpg)
![](/img/1/f63/5ebae8154dee4c90f99aa8d511f0.jpg)
對G中任意元素a,b,都有
;
![](/img/5/517/4ee806bf8b9a058b4f728e3023c3.jpg)
易證得,同態有如下性質:
![](/img/e/868/3b77a9c66b1a69a9ccd2b34e00b0.jpg)
經典的同態有
![](/img/f/255/901609644c46a2ffe49a4b0e43fe.jpg)
經典的同構有:
(1)![](/img/8/7f6/920be96e203fa1e8598e26ff382f.jpg)
![](/img/8/7f6/920be96e203fa1e8598e26ff382f.jpg)
是正實數乘法群到實數加法群的同構。
(2)![](/img/a/817/f15a79ddb93fe85af84cf605c73d.jpg)
![](/img/a/817/f15a79ddb93fe85af84cf605c73d.jpg)
共軛類
一般可以把
中任意一個置換p分解為若干不相交的循環乘積。
![](/img/2/0e7/2fd5d1473cde8df9657561df4aa5.jpg)
P=(
…
)(
…
)….(
…
)
![](/img/4/8e2/0ad9d859624af3859b063f600bf1.jpg)
![](/img/2/159/6e8b26165251aadd6e927bbedb71.jpg)
![](/img/1/0a8/ad9ca1315cccd605e45180e799c9.jpg)
![](/img/e/a05/7f88d3a0d2282a5652760f87b9ff.jpg)
![](/img/0/504/b8b655a613112672d11381d1b64d.jpg)
![](/img/b/113/c35c6fd268fae008b0de11272b30.jpg)
![](/img/6/872/1ab39c547bfde81ea191c39e5ae6.jpg)
![](/img/9/ff1/3f74827bf12b4741c2957c18e0a7.jpg)
![](/img/1/e14/1d0bfd6f7826a3da0d76ea2ef271.jpg)
其中
,設k階循環出現的次數為
,用
表示,則
中置換的格式為
...
。
![](/img/d/f9d/abd961e8d4522a2920613c3c4d85.jpg)
![](/img/1/e06/9d745021e8585991a478da8939c7.jpg)
![](/img/3/d77/98d040f7c40ce99714ae8b716347.jpg)
![](/img/2/0e7/2fd5d1473cde8df9657561df4aa5.jpg)
![](/img/c/ce1/77026640389b81548b863104bd86.jpg)
![](/img/4/fb0/bb17a4482297b2c23db89e8f2a75.jpg)
![](/img/5/a46/cbd11f0c5350d0f7238a178741b7.jpg)
例:(1)(23)(4 5 6 7)的格式是
。
![](/img/5/7e9/cef745a1878ad1273ce2274635eb.jpg)
![](/img/c/1b4/86e62396797816fb301285d13e35.jpg)
![](/img/6/a4a/840e9c9f643c2a35c0d8a848f849.jpg)