原根，是一個數學符號。設m是正整數，a是整數，若a模m的階等於φ(m)，則稱a為模m的一個原根。
基本介紹
- 中文名：原根
- 外文名：Primitive Root
- 套用學科：數學
- 適用領域範圍：數論
定義,性質,原根存在條件,例子,
定義
原根是一種數學符號，設m是正整數，a是整數，若a模m的階等於φ(m)，則稱a為模m的一個原根。（其中φ(m)表示m的歐拉函式）
假設一個數g是P的原根，那么g^i mod P的結果兩兩不同，且有 1<g<P，0<i<P，歸根到底就是g^(P-1) = 1 (mod P)若且唯若指數為P-1的時候成立.(這裡P是素數)。
簡單來說，g^i mod p ≠ g^j mod p （p為素數），其中i≠j且i, j介於1至(p-1)之間，則g為p的原根。
性質
原根具有以下性質：
（1）可以證明，如果正整數(a,m) = 1和正整數 d 滿足a^d≡1(mod m)，則 d 整除 φ(m)。因此Ordm(a)整除φ(m)。在例子中，當a= 3時，我們僅需要驗證 3 的 1 、2、3 和 6 次方模 7 的餘數即可。
（3）模m有原根的充要條件是m= 1,2,4,p,2p,p^n，其中p是奇質數，n是任意正整數。
（4）對正整數(a,m) = 1，如果 a 是模 m 的原根，那么 a 是整數模n乘法群（即加法群 Z/mZ的可逆元，也就是所有與 m 互素的正整數構成的等價類構成的乘法群）Zn的一個生成元。由於Zn有 φ(m)個元素，而它的生成元的個數就是它的可逆元個數，即 φ(φ(m))個，因此當模m有原根時，它有φ(φ(m))個原根。
原根存在條件
原根存在的條件有以下幾個：
定理一：設p是奇素數，則模p的原根存在；
定理二：設g是模p的原根，則g或者g+p是模
的原根；
定理三：設p是奇素數，則對任意
，模
的原根存在；
定理四：設
1，則g是模的一個原根，則g與g+中的奇數是模2的一個原根。
例子
設m= 7，則φ（7）等於6。
設a= 2，由於2^3=8≡1(mod 7)，2^6=64≡1(mod7)，2^3≡2^6(mod7)，所以 2 不是模 7 的一個原根。設a= 3，由於3^1≡3(mod 7)，3^2≡2(mod 7)，3^3≡6(mod 7)，3^4≡4(mod 7)，3^5≡5(mod 7)，3^6≡1(mod 7)，所以 3 是模 7 的一個原根。
補充一點，根據原根的性質1，只需要驗證3^1，3^2，3^3，3^6即可，這樣可以簡化運算。
