冪等（idempotent、idempotence）是一個數學與計算機學概念，常見於抽象代數中。
在編程中一個冪等操作的特點是其任意多次執行所產生的影響均與一次執行的影響相同。冪等函式，或冪等方法，是指可以使用相同參數重複執行，並能獲得相同結果的函式。這些函式不會影響系統狀態，也不用擔心重複執行會對系統造成改變。例如，“setTrue()”函式就是一個冪等函式,無論多次執行，其結果都是一樣的.更複雜的操作冪等保證是利用唯一交易號(流水號)實現.
基本介紹
- 中文名：冪等
- 外文名：idempotent
- 屬性：一個數學與計算機學概念
- 常見於：抽象代數
定義,二元運算,一元運算,一般例子,函式,環的冪等元素,其他例子,
定義
在數學裡，冪等有兩種主要的定義。
在某二元運算下，冪等元素是指被自己重複運算(或對於函式是為複合)的結果等於它自己的元素。例如，乘法下僅有兩個冪等實數，為0和1。
某一元運算為冪等的時，其作用在任一元素兩次後會和其作用一次的結果相同。例如，高斯符號便是冪等的。
一元運算的定義是二元運算定義的特例
二元運算
設S為一具有作用於其自身的二元運算的集合，則S的元素s稱為冪等的(相對於*)當
s *s = s.
特別的是，任一單位元都是冪等的。若S的所有元素都是冪等的話，則其二元運算*被稱做是冪等的。例如，聯集和交集的運算便都是冪等的。
一元運算
設f為一由X映射至X的一元運算，則f為冪等的，當對於所有在X內的x，
f(f(x)) = f(x).
特別的是，恆等函式一定是冪等的，且任一常數函式也都是冪等的。
注意當考慮一由X至X的所有函式所組成的集合S時。在f在一元運算下為冪等的若且唯若在二元運算下，f相對於其複合運算(標記為o)會是冪等的。這可以寫成f o f = f。
一般例子
函式
如上述所說，恆等函式和常數函式總會是冪等的。較不當然的例子有實數或複數引數的絕對值函式，以及實數引數的高斯符號。
將一拓撲空間X內各子集U映射至U閉包的函式在X的冪集上是冪等的。這是閉包運算元的一個例子；所有個閉包運算元都會是冪等函式。
環的冪等元素
定義上，環的冪等元素為一相對於環乘法為冪等的元素。可以定義一於環冪等上的偏序：若e和f為冪等的，當ef= fe= e時，標記為e≤ f。依其順序，0會是最小冪等元素，而1為最大冪等元素。
若e在環R內為冪等的，則eRe一樣會是個乘法單位元為e的環。
兩個冪等元素e和f被稱為正交的當ef=fe=0。在此一情形下，e+f也是冪等的，且有e ≤ e + f和f ≤ e + f。
若e在環R內為冪等的，則f = 1 − e也會是冪等的，且e和f正交。
一在R內的冪等元素e稱為核心的，若對所有在R內的x，ex=xe。在此情形之下，Re會是個乘法單位元為e的環。R的核心冪等元素和R的分解為環的直和有很直接的關接。若R為環R1、...、Rn的直和，則環Ri的單位元在R內為核心冪等的，相互正交，且其總和為1。相反地，給出R內給相互正交且總和為1的核心冪等元素e1、...、en，則R會是環Re1、...、Ren的直和。所有較有趣的是，每一於R內的核心冪等e都會給出一R的分解－Re和R(1 − e)的直和。
任一不等於0和1的冪等元素都是零因子(因為e(1 − e) = 0)。這表示了整環及除環都不會存在此種冪等元素。局部環也沒有此種冪等元素，但理由有點不同。唯一包含於一環的雅各布森根內的冪等元素只有0。共四元數環內會有一冪等元素組成的懸鏈曲面。
所有元素都冪等的環稱做布爾環。可證明在每一此類環內，乘法都是可交換的，且每一元素都有其各自的加法逆元。
其他例子
冪等運算也可以在布林代數內找到。邏輯和與邏輯或便都是冪等運算。
一冪等半環為其加法(非乘法)為冪等的半環。
