布爾代數的運算律(operational rule of Boolean algebra)是布爾代數的基本運算法則，布爾代數中的變數代表一種狀態或概念，數值1或0並不是表示變數在數值上的差別而是代表狀態與概念存在與否的符號。布爾代數主要運算法則有：結合律，交換律，分配律，吸收律，冪等律等。
基本介紹
- 中文名：布爾代數運算律
- 外文名：operational rule of Boo-lean algebra
- 所屬學科：數學（布爾代數）
- 簡介：布爾代數的基本運算法則
- 內容：結合律，分配律，吸收律等
- 套用：邏輯函式的化簡
基本介紹,布爾代數運算律的套用,
基本介紹
布爾代數〈B，+，·，′，0，1〉有如下運算律，對B中任意元素a，b，c，有：
1.結合律：(a+b)+c=a+(b+c) ，
(a·b)·c=a·(b·c).
2.交換律：a+b=b+a， a·b=b·a.
3.分配律：a·(b+c)=(a·b)+(a·c)，
（a+b）·c=(a·c)+(b·c)
4.吸收律：a+a·b=a， a·(a+b)=a.
5.冪等律：a+a=a， a·a=a.
6.德·摩根律(反演律)：(a+b)′=a′·b′，
(a·b)′=a′+b′.
德·摩根律是德·摩根(De Morgan，A.)發現的利用歸納法可得德·摩根律的一般形式：
(a1+a2+…+an)′=a1′·a2′·…·an′，
(a1·a2·…·an)′=a1′+a2′+…+an′。
德·摩根律提供了由乘轉換成加，由加轉換成乘的方法。
7.對合律(雙重否定律)：(a′)′=a.
8.互補律：a+a′=1， a·a′=0.
9.零一律(麼元律)：a+0=a， a·1=a.
10.囿元律(極元律)：a+1=1， a·0=0.
布爾代數運算律的套用
邏輯函式的化簡
從以上邏輯代數基本定律的介紹中(特別是分配律、吸收律和反演律)不難發現，等式兩邊的表達式雖然不同，但卻是等價的，邏輯功能是相同的。也就是說，同一函式可以有不同的表達形式，每一表達式都可畫出與其相應的邏輯圖。邏輯表達式最簡單的標準有兩個：一是所含乘積項的個數最少；二是在前一條件下，每個乘積項中變數的個數也最少。常用的化簡方法有兩種：代數法和卡諾圖法。
(1)代數法
代數法(又叫公式法)化簡是利用布爾代數的基本運算法則和基本定律對較複雜的邏輯函式式進行演算化簡的方法。如何使邏輯函式式達到最簡，在很大程度上依賴人們對邏輯運算掌握的熟練程度和實踐經驗。下面介紹幾種常用的化簡方法。
①並項法
利用互補律：A+A'=1，並項後消去變數。
例 化簡ABC+A'BC
解 Y=(A+A')BC=BC
②吸收法
利用吸收律：A+AB=A，吸收多餘項，消去多餘變數。
例 化簡Y=AB+ABC
解 Y=(AB)+(AB)C=AB
或 Y=AB(1+C)=AB ·
③消去法
利用吸收律、分配律、摩根定律等消去多餘因子。
例 化簡Y=AB+A'C+B'C
解 Y=AB+(A'+B')C=AB+(AB)'C=(AB)+(AB)'C=AB+C
④配項法 !
利用A+A'=1，A+1=1等，先把一項拆成兩項，再重新與其他項組合進行化簡，消去更多的項。
例 化簡Y=AB+BC+(AC)'
解 Y=AB(C+C')+BC+AC'=ABC+ABC'+BC+AC'
=(A+1)BC十AC'(B+1)=BC+AC'
代數法化簡沒有一個固定的模式，往往要綜合運用多種方法。多加練習，熟能生巧，逐步積累經驗才能運用自如。
(2)卡諾圖法
卡諾圖化簡法是1953年由卡諾首先提出來用於化簡邏輯函式，它是邏輯函式的最小項按相鄰關係排列的方格圖。有關卡諾圖化簡的方法。
