冪等矩陣

冪等矩陣（idempotent matrix）定義：若A為方陣，且A=A，則A稱為冪等矩陣。例如，某行全為1而其他行全為0的方陣是冪等矩陣。實際上，由Jordan標準型易知，所有冪等矩陣都相似於對角元全為0或1的對角陣。

基本介紹

• 中文名：冪等矩陣
• 外文名：idempotent matrix
• 定義：A為方陣且A^2=A則A稱為冪等矩陣
• 類別：線性代數

概述

A是n階方陣，若r（A）=r，存在可逆矩陣P、Q，使得：，則B為冪等矩陣，。

等價命題1：若A是冪等矩陣，則與A相似的任意矩陣是冪等矩陣；

等價命題2：若A是冪等矩陣，則A的AH、AT、A*、E-AH、E-AT都是冪等矩陣；

等價命題3：若A是冪等矩陣，則對於任意可逆陣T，也為冪等矩陣；

等價命題4：若A是冪等矩陣，A的k次冪仍是冪等矩陣。

由於冪等矩陣所具有的良好性質及其對向量空間的劃分，冪等矩陣在可對角化矩陣的分解中具有重要的作用，同時也為空間的投影過程提供了一種工具。

性質

冪等矩陣的主要性質：

1.冪等矩陣的特徵值只可能是0，1；

2.冪等矩陣可對角化；

3.冪等矩陣的跡等於冪等矩陣的秩，即tr(A)=rank(A)；

4.可逆的冪等矩陣為E；

5.方陣零矩陣和單位矩陣都是冪等矩陣；

6.冪等矩陣A滿足：A(E-A)=(E-A)A=0；

7.冪等矩陣A：Ax=x的充要條件是x∈R(A)；

8.A的核N(A)等於(E-A)的列空間R(E-A),且N(E-A)=R(A)。考慮冪等矩陣運算後仍為冪等矩陣的要求，可以給出冪等矩陣的運算：

1）設 A₁，A₂都是冪等矩陣，則(A₁+A₂) 為冪等矩陣的充分必要條件為：A₁·A₂ =A₂·A₁=0，且有：R(A₁+A₂) =R (A₁) ⊕R (A₂)；N(A₁+A₂) =N(A₁)∩N(A₂)；

2）設 A₁， A₂都是冪等矩陣，則(A₁-A₂) 為冪等矩陣的充分必要條件為：A₁·A₂=A₂·A₁=A₂，且有：R(A₁-A₂) =R(A₁)∩N (A₂)；N (A₁- A₂) =N (A₁)⊕R (A₂)；

3）設 A₁，A₂都是冪等矩陣，若A₁·A₂=A₂·A₁，則A₁·A₂為冪等矩陣，且有：R (A₁·A₂) =R(A₁) ∩R (A₂)；N (A₁·A₂) =N (A₁) +N (A₂)。