對角化

設M為元素取自交換體K中的n階方陣，將M對角化，就是確定一個對角矩陣D及一個可逆方陣P，使M=PDP^-1。設f為典範對應於M的Kⁿ的自同態，將M對角化，就是確定Kⁿ的一個基，使在該基中對應f的矩陣是對角矩陣。

基本介紹

• 中文名：對角化
• 外文名：Diagonalize
• 所屬學科：數學
• 特點：只有主對角線上含有非零元素
• 相關概念：方陣，對角矩陣等

基本介紹

對角矩陣是指只有主對角線上含有非零元素的矩陣，即，已知一個n×n矩陣 ，如果對於 ，則該矩陣為對角矩陣。如果存在一個矩陣 ，使 的結果為對角矩陣，則稱矩陣 將矩陣 對角化。對於一個矩陣來說，不一定存在將其對角化的矩陣，但是任意一個n×n矩陣如果存在n個線性不相關的特徵向量，則該矩陣可被對角化。

相關定理

定理1 令 為n×n矩陣，其特徵值為 ，特徵向量為 ，形成線性無關集合，以每個特徵向量為列構成矩陣 ，如下所示。

矩陣 可以將矩陣 對角化，乘積矩陣 的主對角元素是矩陣 的特徵值：

反之，如果存在可逆矩陣 ，使 為對角矩陣，則矩陣 的列等於矩陣 的特徵向量， 的主對角元素為矩陣 的特徵值。

證明：首先計算矩陣乘積 。由於矩陣 的第j列對應特徵向量 ，則的第j列等於 。由於為特徵向量，則，矩陣乘積可寫為

由於特徵向量線性無關，矩陣可逆，的表達式可寫為

反之，也可證明，可將矩陣對角化的可逆矩陣 必定由的特徵向量組成。假設為n×n對角矩陣，且，其中 為n×n矩陣，有

令表示矩陣 的第j列，為矩陣D的主對角線上的元素，則矩陣乘積AD的表達式如下：

另，矩陣乘積MA如下：

令AD的第j列等於MA的第j列，則，因此是與特徵值對應的矩陣M的特徵向量。 證畢。

由於對稱矩陣M的特徵向量是正交的，則以M的單位長度的特徵向量為列構成的矩陣 是正交矩陣，因此。由對稱矩陣M的特徵值組成的矩陣D的表達式如下：

對角矩陣

定義

對角矩陣(diagonal matrix)是一個主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。對角線上元素相等的對角矩陣稱為數量矩陣；對角線上元素全為1的對角矩陣稱為單位矩陣。

（1）對角矩陣形如：

（2）對角矩陣可以記作：。

（3）當時，對角陣稱為數量矩陣。

（4）當時，叫做單位矩陣，記作E，有。

運算規律

和差運算

同階對角陣的和、差仍是對角陣，有：

數乘運算

數與對角陣的乘積仍為對角陣，有：

乘積運算

同階對角矩陣的乘積仍為對角陣，且它們的乘積是可交換的，有：

矩陣相似於對角矩陣的條件

充要條件

n階矩陣A相似於對角矩陣的充要條件是A有n個線性無關的特徵向量。

證明過程：

（1）必要性。

設有可逆矩陣P，使得

令矩陣P的n個列向量為，則有

因而，因為P為可逆矩陣，所以為線性無關的非零向量，它們分別是矩陣A對應於特徵值的特徵向量。

（2）充分性。

由必要性的證明可見，如果矩陣A有n個線性無關的特徵向量，設它們為，對應的特徵值分別為，則有，以這些向量為列構造矩陣，則P可逆，且，其中C如下：

即。

推論

若n階矩陣A有n個不同的特徵值，則A必能相似於對角矩陣。

說明：當A的特徵方程有重根時，就不一定有n個線性無關的特徵向量，從而未必能對角化。