重根(數學代數名詞)

對代數方程，即多項式方程，方程f(x) = 0有根x = a則說明f(x)有因子(x - a)，從而可做多項式除法P(x) = f(x) / (x-a)結果仍是多項式。若P(x) = 0仍以x = a為根，則x= a是方程的重根。或令f1(x)為f(x)的導數，若f1(x) = 0也以x =a為根，則也能說明x= a是方程f(x)=0的重根。

基本介紹

• 中文名：重根 
• 外文名：multiple root
• 定義：多項式方程重數大於等於2的根
• 分類：數學
• 套用領域：代數學
• 對應概念：單根

定義

如果 有 重因式 ，即

其中， 是大於1的自然數， 是不含因式 的多項式，則稱 存在重根 ，且其重數為 。

性質

根據多項式乘積的導數公式，對函式 求導可得：

上式中，由於 不含因式 ，而 含有因式 ，於是括弧中的 不含有因式 ，因此 是 的 重根。由此可以得到多項式重根有以下性質：

①多項式的重根也是它的導數函式的根，且作為導數根的重數少1。

②若且唯若多項式 與它的導數 的最高公因式是零次多項式時，多項式 才沒有重根。

套用舉例

判斷方程 有沒有重根。

解：設 ，則 ，即 和 是 的根，先將這兩根分別代入，由於是的根，所以是多項式與它的導數的公根，它就是的重根；而不是的根。