主對角線

在一個n階方陣(或是n階行列式)中，從左上角到右下角這一斜線上的n 個元素的位置，叫做n 階方陣(或行列式)的主對角線。

基本介紹

• 中文名：主對角線
• 外文名：leading diagonal
• 所屬學科：數學
• 相關概念：n階方陣、n階行列式、對角陣等

定義

主對角線(principal diagonal)是n階矩陣或n 階行列式：

中從左上角到右下角的對角線。主對角線中有序的元素集合稱為對角元素。

n階行列式的定義

由n²個數排成n行n 列，稱其為n階行列式。

n階行列式表示n!項的代數和其中正負項各占一半，每一項都是取不同行不同列的n個元素的乘積。所在的對角線稱為行列式的主對角線。

主對角線行列式

主對角線行列式的形式如下：

特點：主對角線元素不全為零，其餘元素全為零。

次對角線行列式

次對角線行列式的形式如下：

特點：次對角線元素不全為零，其餘元素全為零。

方陣對角化

定義1 若方陣A 可以和某個對角矩陣相似，則稱矩陣A 可對角化。

定理1設為n 階矩陣A 的不同特徵值，分別是屬於的特徵向量，則線性無關。

定理2n階矩陣A 相似於對角陣的充分必要條件是A有n個線性無關的特徵

推論 若n階矩陣A 有n 個相異的特徵值，則矩陣A一定可對角化。

定理3設是n 階矩陣A 的特徵多項式的k重根，則A的屬於特徵值的線性無關的特徵向量個數最多有k 個。

定理4設n階矩陣A 有m個不特徵值，設是矩陣A的屬於的線性無關的特徵向量(i= 1，2，...，m)，則向量組線性無關。

定理5 n階矩陣A 與對角陣相似的充分必要條件是對每一個特徵值對應的特徵向量線性無關的最大個數等於該特徵值的重數，即對每一個n_i重特徵值的基礎解系含有n_i個向量。