復對稱矩陣

復對稱矩陣(complex symmetric matrix)是一種對稱矩陣，指a_ij=a_ji(i，j=1，2，…，n)的n階復矩陣A=(a_ij)。任何n階復矩陣相似於復對稱矩陣。復對稱矩陣與實對稱矩陣的顯著區別之一是不一定能對角化，但是，對於復對稱矩陣仍然有類似於自伴矩陣譜定理那樣的分解。

基本介紹

• 中文名：復對稱矩陣
• 外文名：complex symmetric matrix
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：高等代數(矩陣)

基本介紹

復對稱矩陣指a_ij=a_ji(i，j=1，2，…，n)的n階復矩陣A=(a_ij)。任何n階復矩陣相似於復對稱矩陣，任何復對稱矩陣S正交相似於對稱矩陣，即存在正交矩陣T，使，其中

是準對角形矩陣，子塊E^(p)是p階單位矩陣，子塊

稱為復對稱矩陣S的標準形。

相關分析

矩陣A∈M_n是對稱的，是指A=A^T，在許多場合，所研究的對稱矩陣只有實元素，因而它們是實Hermite矩陣。

但是，在有些情形，我們要與復對稱矩陣打交道，一個例子是研究複平面中單位圓盤的正則解析映射，如果f(z)是單位圓盤上的正則解析函式，又如果f(z)是適合f(0)=0和f'(0)=1的標準化了的函式，那么，f(z)是一一的(有時稱為單葉的)， 若且唯若

對滿足|z_i|<1的點∈C的所有選擇，點∈C的所有選擇和所有n=1，2，...成立。如果，則右邊的差商可以看作f'(z_i)。這些稱為Grunsky不等式組的龐雜不等式有很簡單的代數形式

其中，

應注意的是，A是Hermite矩陣，而B是復對稱矩陣。

另一個自然要產生復對稱矩陣的例子出現在一般的矩問題中。設是給定的複數序列，設n≥1是某個正整數，且定義，注意A_2n是形狀為Hankel矩陣的復對稱矩陣。對x∈C²ⁿ，我們考慮復二次型，要問是否存在某個固定常數c>0，使得對所有x∈C2ⁿ和所有n=1，2，...有

根據Nebari定理，這個條件成立， 若且唯若存在一個幾乎處處有界的Lebesgue可測函式F(t): F(t):R→C，它的Fourier係數是已知數；關於F(t)的本質邊界恰好是上述不等式組的常數c。

在實際套用中復對稱矩陣似乎不像復Hermite(或實對稱)矩陣那樣幾乎經常出現，但是前兩個例子說明，它們還是出現了，雖然復對稱矩陣不一定可對角化，可是復對稱矩陣有一個類似於Hermite 矩陣的譜定理的分解，並且可以用邏輯上類似的方法來證明它，我們首先證明一個與Schur三角分解定理類似的定理，它說明，包括對稱矩陣在內的一類矩陣總可以分解成，其中U是西矩陣，是上三角矩陣，如果，上三角矩陣是對稱的，則它必定是對角矩陣。

定理1 設A∈M_n是給定的，那么存在西矩陣U∈M_n和上三角矩陣∈M_n使得，若且唯若的所有特徵值是非負實數，在這個條件下，的所有主對角元可以選取非負值。

每個對稱矩陣A∈M_n有如下性質:的所有特徵值都是非負的。該特殊形式已包含在上述定理中，人們通常把它歸功於Schur(1945). 但是較早的證明是由Hua(1944)，Siegel(1943)和Jacobsen(1939)提出的；而歷史的優先權顯然應該屬於Takagi(1925)。

推論(Takagi分解) 如果A∈M_n是對稱矩陣(A=A^T)，則存在西矩陣U∈M_n和非負實對角矩陣Σ=diag(σ₁，..σ_n)使得。U的諸列是由的特徵向量組成的標準正交組，而Σ的相應對角元是的相應特徵值的非負平方根。