特徵值

特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的套用。設 A 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是A的一個特徵值（characteristic value)或本徵值（eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量或本徵向量，簡稱A的特徵向量或A的本徵向量。

基本介紹

• 中文名：特徵值
• 外文名：Eigen value
• 時間：1904
• 提出：希爾伯特
• 分類：數學
• 屬於：線性代數

簡介

特徵值是線性代數中的一個重要概念。在數學、物理學、化學、計算機等領域有著廣泛的套用。設 A 是n階方陣，如果存在數m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是A的一個特徵值（characteristic value)或本徵值（eigenvalue)。非零n維列向量x稱為矩陣A的屬於（對應於）特徵值m的特徵向量或本徵向量，簡稱A的特徵向量或A的本徵向量。

定義

基本定義

設A為n階矩陣，若存在常數λ及n維非零向量x，使得Ax=λx，則稱λ是矩陣A的特徵值，x是A屬於特徵值λ的特徵向量。

A的所有特徵值的全體，叫做A的譜，記為.

廣義特徵值

如將特徵值的取值擴展到複數領域，則一個廣義特徵值有如下形式：Aν=λBν

其中A和B為矩陣。其廣義特徵值（第二種意義）λ 可以通過求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）構成形如A-λB的矩陣的集合。其中特徵值中存在的複數項，稱為一個“叢(pencil)”。

若B可逆，則原關係式可以寫作，也即標準的特徵值問題。當B為非可逆矩陣（無法進行逆變換）時，廣義特徵值問題應該以其原始表述來求解。

如果A和B是實對稱矩陣，則特徵值為實數。這在上面的第二種等價關係式表述中並不明顯，因為A矩陣未必是對稱的。

計算方法

求n階矩陣A的特徵值的基本方法：

根據定義可改寫為關係式，為單位矩陣（其形式為主對角線元素為λ- ，其餘元素乘以-1）。要求向量具有非零解，即求齊次線性方程組有非零解的值。即要求行列式。 解次行列式獲得的值即為矩陣A的特徵值。將此值回代入原式求得相應的，即為輸入這個行列式的特徵向量。

求矩陣的全部特徵值和特徵向量的方法如下：

第一步：計算的特徵多項式；

第二步：求出特徵方程的全部根，即為的全部特徵值；

第三步：對於的每一個特徵值，求出齊次線性方程組：

的一個基礎解系，則的屬於特徵值的全部特徵向量是

（其中是不全為零的任意實數）．

[注]：若是的屬於的特徵向量，則也是對應於的特徵向量，因而特徵向量不能由特徵值惟一確定．反之，不同特徵值對應的特徵向量不會相等，亦即一個特徵向量只能屬於一個特徵值.

基本套用

求特徵向量

設A為n階矩陣，根據關係式Ax=λx，可寫出(λE-A)x=0，繼而寫出特徵多項式|λE-A|=0，可求出矩陣A有n個特徵值（包括重特徵值）。將求出的特徵值λi代入原特徵多項式，求解方程(λiE-A)x=0，所求解向量x就是對應的特徵值λi的特徵向量。

判斷相似矩陣的必要條件

設有n階矩陣A和B，若A和B相似（A∽B），則有：

1、A的特徵值與B的特徵值相同——λ(A)=λ(B)，特別地，λ(A)=λ(Λ)，Λ為A的對角矩陣；

2、A的特徵多項式與B的特徵多項式相同——|λE-A|=|λE-B|；

3、A的跡等於B的跡——trA=trB/，其中i=1,2,…n（即主對角線上元素的和）；

4、A的行列式值等於B的行列式值——|A|=|B|；

5、A的秩等於B的秩——r(A)=r(B)。

因而A與B的特徵值是否相同是判斷A與B是否相似的根本依據。

判斷矩陣可對角化的充要條件

矩陣可對角化有兩個充要條件：1、矩陣有n個不同的特徵向量；2、特徵向量重根的重數等於基礎解系的個數。對於第二個充要條件，則需要出現二重以上的重特徵值可驗證（一重相當於沒有重根）。

相似對角化

若矩陣A可對角化，則其對角矩陣Λ的主對角線元素全部為A的特徵值，其餘元素全部為0。（一個矩陣的對角陣不唯一，其特徵值可以換序，但都存在由對應特徵向量順序組成的可逆矩陣P使=Λ）

更多套用

量子力學：

設A是向量空間的一個線性變換，如果空間中某一非零向量通過A變換後所得到的向量和X僅差一個常數因子，即AX=kX ，則稱k為A的特徵值，X稱為A的屬於特徵值k的特徵向量或特徵矢量(eigenvector)。如在求解薛丁格波動方程時，在波函式滿足單值、有限、連續性和歸一化條件下，勢場中運動粒子的總能量(正)所必須取的特定值，這些值就是正的本徵值。

奇異矩陣特徵值

設M是n階方陣， I是單位矩陣， 如果存在一個數λ使得 M-λI 是奇異矩陣（即不可逆矩陣， 亦即行列式為零）， 那么λ稱為M的特徵值。

在A變換的作用下，向量ξ僅僅在尺度上變為原來的λ倍。稱ξ是A 的一個特徵向量，λ是對應的特徵值（本徵值）,是（實驗中）能測得出來的量，與之對應在量子力學理論中，很多量並不能得以測量，當然，其他理論領域也有這一現象。