對角矩陣

對角矩陣(diagonal matrix)是一個主對角線之外的元素皆為0的矩陣，常寫為diag（a1，a2,...,an) 。對角矩陣可以認為是矩陣中最簡單的一種，值得一提的是：對角線上的元素可以為 0 或其他值，對角線上元素相等的對角矩陣稱為數量矩陣；對角線上元素全為1的對角矩陣稱為單位矩陣。對角矩陣的運算包括和、差運算、數乘運算、同階對角陣的乘積運算，且結果仍為對角陣。

基本介紹

• 中文名：對角矩陣
• 外文名：diagonal matrix
• 相關：對角方陣
• 定義：是一個主對角線之外的元素皆為 0
• 特殊形式：數量矩陣、單位矩陣
• 套用學科：高等數學

定義

對角矩陣(diagonal matrix)是一個主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。對角線上元素相等的對角矩陣稱為數量矩陣；對角線上元素全為1的對角矩陣稱為單位矩陣。

（1）對角矩陣形如：

（2）對角矩陣可以記作：。

（3）當時，對角陣稱為數量矩陣。

（4）當時，叫做單位矩陣，記作E，有。

運算規律

和差運算

同階對角陣的和、差仍是對角陣，有：

數乘運算

數與對角陣的乘積仍為對角陣，有：

乘積運算

同階對角矩陣的乘積仍為對角陣，且它們的乘積是可交換的，有：

矩陣條件

充要條件

n階矩陣A相似於對角矩陣的充要條件是A有n個線性無關的特徵向量。

證明過程：

（1）必要性。

設有可逆矩陣P，使得

令矩陣P的n個列向量為，則有

因而，因為P為可逆矩陣，所以為線性無關的非零向量，它們分別是矩陣A對應於特徵值的特徵向量。

（2）充分性。

由必要性的證明可見，如果矩陣A有n個線性無關的特徵向量，設它們為，對應的特徵值分別為，則有，以這些向量為列構造矩陣，則P可逆，且，其中C如下：

即。

推論

若n階矩陣A有n個不同的特徵值，則A必能相似於對角矩陣。

說明：當A的特徵方程有重根時．就不一定有n個線性無關的特徵向量，從而未必能對角化。