可對角化矩陣

可對角化矩陣是線性代數和矩陣論中重要的一類矩陣。如果一個方塊矩陣 A 相似於對角矩陣，也就是說，如果存在一個可逆矩陣 P 使得 P ⁻¹AP 是對角矩陣，則它就被稱為可對角化的。如果 V 是有限維度的向量空間，則線性映射 T ： V → V 被稱為可對角化的，如果存在 V 的一個基，T 關於它可被表示為對角矩陣。對角化是找到可對角化矩陣或映射的相應對角矩陣的過程。

可對角化矩陣和映射線上性代數中有重要價值，因為對角矩陣特別容易處理： 它們的特徵值和特徵向量是已知的，並通過簡單的提升對角元素到同樣的冪來把一個矩陣提升為它的冪。

若爾當-謝瓦萊分解表達一個運算元為它的對角部分與它的冪零部分的和。

基本介紹

• 中文名：可對角化矩陣
• 外文名：diagonalizable matrix
• 所屬領域：線性代數和矩陣論
• 所屬學科：數學
• 相關概念：矩陣、對角矩陣、線性變換等

定義

如果一個矩陣與一個對角矩陣相似，我們就稱這個矩陣可經相似變換對角化，簡稱可對角化；與之對應的線性變換就稱為可對角化的線性變換。

任取 ，則 可作為上n維線性空間V的某個線性變換 在一組基 下的矩陣。

若 可對角化，即 使 成對角形，則B是 在另一組基 下的矩陣，且 ，記B的主對角線元素為 ，這是的全部特徵值，也是 的全部特徵值(因為兩矩陣相似)，由線性變換的矩陣的定義知

所以， 是 的n個線性無關的特徵向量，它們在基向量組 下的坐標 ，即T的列向量組，就是 的n個線性無關的特徵向量。

反過來，如果 有n個線性無關的特徵向量 ，與它們對應的特徵值是 ，以 為列向量組作成一個可逆矩陣T，令 ，就得到 的n個線性無關的特徵向量 ，用 作為V的基，則上述方程組成立，從而 在這組基下的矩陣是對角矩陣，並且 。

性質定理

定理1

m級矩陣 或n維線性空間V的線性變換 可對角化的充要條件是或 有n個線性無關的特徵向量。當可對角化時，與它相似的對角矩陣的主對角線上的元素就是的全部特徵值。

由上面的分析還知道，如果求出了矩陣的n個線性無關的特徵向量，那么用這些向量作列向量的矩陣T就使 成對角形，其主對角線上的元素就是的全部特徵值(按對應的特徵向量排序)。

定理2

屬於不同特徵值的特徵向量線性無關。

證明: 設 是線性變換 的m個不同的特徵值， 的屬於它們的特徵向量分別是 ，下面用數學歸納法證明 線性無關。

(1)當 時，因為特徵向量 ，它一定線性無關。

(2)假定 時， 線性無關。

當 時，令

①

用 對兩邊作用得

②

①式兩邊乘以 得

③

從②減去③得

由歸納假設得

因為 ，所以 ，將它們代入①得 ，於是 也線性無關。

用取代 的位置上述推理過程一樣正確，故定理得證。

在特徵值和特徵向量方面，矩陣與線性變換的理論是平行的，下面只就矩陣進行討論，所得的結果對線性變換也成立。

推論1

若 有n個不同的特徵值，則可對角化。

因為複數域上的n次多項式恰有n個根，所以我們還有下面的推論。

推論2

如果的特徵多項式在複數域上的根互不相等，那么作為複數域上的矩陣一定可以對角化。

推論3

如果 是 的所有互不相同的特徵值，各特徵子空間 的基排列如下：

那么上述特徵向量組線性無關，從而特徵子空間的和是直和。

定理3

矩陣 可對角化的充要條件是 可以表為A的特徵子空間的直和。

證明: 若可對角化，根據定理1，它有n個線性無關的特徵向量，將它們按所屬的特徵值進行分組得到特徵向量組

其中子組 中各向量同屬特徵值 ，它們一定是A的特徵子空間 的基(否則將不構成所在特徵子空間的基的各子組擴充成所在特徵子空間的基，由推論3知，A的線性無關的特徵向量的個數大於n，這與 矛盾)，於是

反過來，設 ，從各個特徵子空間取出一組基就得到的n個線性無關的特徵向量，故可對角化。

定理4

矩陣 可對角化的充要條件是A的特徵多項式在上可以分解為

的形式，並且特徵子空間 的維數 。