方塊矩陣

方塊矩陣，或簡稱方陣，是行數及列數皆相同的矩陣。由n*n矩陣組成的集合，連同矩陣加法和矩陣乘法，構成環。 除了 n = 1，此環並不是交換環。

基本介紹

• 中文名：方塊矩陣
• 簡稱：方陣
• 特點：n*n矩陣組成的集合
• 代表字母：n
• 注意事項：所有正交矩陣都是方塊矩陣

簡介

M(n, R)，即實方塊矩陣環，是個實有單位的結合代數。M(n, C)，即複方塊矩陣環，則是復結合代數。

單位矩陣 In 的對角線全是 1 而其他位置全是 0，對所有M*N矩陣 M 及N*K矩陣 N 都有 MIn = M 及 InN = N。

案例

例如，若 n = 3：

單位矩陣是方塊矩陣環的單位元。

方塊矩陣環的可逆元稱為可逆矩陣或非奇異矩陣。 N*N矩陣 A 是可逆若且唯若存在矩陣 B 使得

AB = In( = BA)。

此時 B 稱為 A 的逆矩陣，並記作 A − 1。 所有N*N矩陣在乘法上組成一個群（亦是一個李群），稱為一般線性群。

若數字 λ 和非零向量V滿足 ，則AV=λV(V為向量）為 A 的一個特徵向量，λ 是其對應的特徵值。數字 λ 為 A 的特徵值若且唯若 A − λIn 可逆，又若且唯若 pA(λ) = 0。 這裡，pA(x) 是 A 的特徵多項式。特徵多項式是一個 n 次多項式，有 n 個復根（考慮重根），即 A 有 n 個特徵值。

方塊矩陣 A 的行列式是其 n 個特徵值的積, 但亦可經由Leibniz formula計算出來。可逆矩陣正好是那些行列式非零的矩陣.

高斯-若爾當消元法非常重要，可以用來計算矩陣的行例式，秩，逆矩陣，並解決線性方程組。

矩陣的跡是N*N矩陣的對角線元素之和，也是其 n 個特徵值之和。

所有正交矩陣都是方塊矩陣。