基本介紹
- 中文名：秩
- 外文名：Rank
- 拼音：zhì
- 分類：線性代數術語
可替代的定義,性質,計算,套用,
可替代的定義
用向量組的秩定義
向量組的秩：在一個m維線性空間E中，一個向量組的秩表示的是其生成的子空間的維度。考慮m× n矩陣，將A的秩定義為向量組F的秩，則可以看到如此定義的A的秩就是矩陣 A的線性無關縱列的極大數目，即 A的列空間的維度(列空間是由 A的縱列生成的 F的子空間)。因為列秩和行秩是相等的，我們也可以定義 A的秩為 A的行空間的維度。
用線性映射定義
考慮線性映射：
對於每個矩陣A，fA都是一個線性映射，同時，對每個的 線性映射f，都存在矩陣A使得 f= fA。也就是說，映射
是一個同構映射。所以一個矩陣 A的秩還可定義為fA的像的維度（像與核的討論參見線性映射）。矩陣 A稱為 fA的變換矩陣。這個定義的好處是適用於任何線性映射而不需要指定矩陣，因為每個線性映射有且僅有一個矩陣與其對應。秩還可以定義為 n減 f的核的維度；秩-零化度定理聲稱它等於 f的像的維度。
性質
只有零矩陣有秩 0 A的秩最大為 min(m,n) f是單射，若且唯若 A有秩 n（在這種情況下，我們稱 A有“滿列秩”）。f是滿射，若且唯若 A有秩 m（在這種情況下，我們稱 A有“滿行秩”）。在方塊矩陣A（就是 m= n) 的情況下，則 A是可逆的，若且唯若 A有秩 n（也就是 A有滿秩）。如果 B是任何 n× k矩陣，則 AB的秩最大為 A的秩和 B的秩的小者。即：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B)) 推廣到若干個矩陣的情況，就是：秩（A1A2...Am)≤min（秩（A1），秩（A2），...秩（Am)) 證明：考慮矩陣的秩的線性映射的定義，令A、B對應的線性映射分別為 f和 g，則秩（AB)表示複合映射 f·g，它的象 Im f·g是 g的像 Im g在映射 f作用下的象。然而 Im g是整個空間的一部分，因此它在映射 f作用下的象也是整個空間在映射 f作用下的象的一部分。也就是說映射 Im f·g是Im f的一部分。對矩陣就是：秩（AB）≤秩（A）。對於另一個不等式：秩（AB）≤秩（B），考慮 Im g的一組基：（e1，e2，...，en），容易證明（f(e1），f(e2），...，f(en））生成了空間 Im f·g，於是 Im f·g的維度小於等於Im g的維度。對矩陣就是：秩（AB）≤秩（B）。因此有：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B））。若干個矩陣的情況證明類似。作為 "<" 情況的一個例子，考慮積 兩個因子都有秩 1，而這個積有秩 0。可以看出，等號成立若且唯若其中一個矩陣（比如說 A）對應的線性映射不減少空間的維度，即是單射，這時 A是滿秩的。於是有以下性質：如果 B是秩 n的 n× k矩陣，則 AB有同 A一樣的秩。如果 C是秩 m的 l× m矩陣，則 CA有同 A一樣的秩。A的秩等於 r，若且唯若存在一個可逆 m× m矩陣 X和一個可逆的 n× n矩陣 Y使得 這裡的 Ir指示 r× r單位矩陣。證明可以通過高斯消去法構造性地給出。
計算
例如考慮 4 × 4 矩陣
我們看到第 2 縱列是第 1 縱列的兩倍，而第 4 縱列等於第 1 和第 3 縱列的總和。第1 和第 3 縱列是線性無關的，所以 A的秩是 2。這可以用高斯算法驗證。它生成下列 A的行梯陣形式：
它有兩個非零的橫行。
在套用在計算機上的浮點數的時候，基本高斯消去（LU分解）可能是不穩定的，應當使用秩啟示（revealing）分解。一個有效的替代者是奇異值分解(SVD），但還有更少代價的選擇，比如有支點（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在數值上更強壯。秩的數值判定要求對一個值比如來自 SVD 的一個奇異值是否為零的依據，實際選擇依賴於矩陣和套用二者。
