基本介紹
- 中文名：若且唯若
- 外文名：If and only if
- 別稱：若且唯若
- 領域：數學、哲學
- 套用學科：數學
- 英文縮寫：iff
含義,標記,證明,英語縮寫iff,與“當”的不同,進一步的思考,更一般的用法,
含義
標記
證明
設A與B為兩命題，在證明“A若且唯若B”時，這相當於去同時證明陳述“如果A成立，則B成立”和“如果B成立，則A成立”。另外，也可以證明“如果A成立，則B成立”和“如果A不成立，則B不成立”，後者作為對偶，等價於“如果B成立，則A成立”。
雖然“A若且唯若B”是一個標準用法，但是公認的其他同樣說法還有“B是A的充分必要條件（或稱為充要條件）”，或者“A成立，正當B”。
一般而言，當我們看到“A若且唯若B”，我們可以知道“如果A成立時，則B一定成立”、“如果B成立時，則A也一定成立”、“如果A不成立時，則B也一定不成立”、“如果B不成立時，則A也一定不成立”。
若且唯若A（命題）成立時，B（命題）成立。
也可表示成：B（命題）成立時，A（命題）成立 ；A（命題）成立時，B（命題）成立。即B（命題）等價於A（命題）。
通俗一點來說，就是“在這些情況下，並且僅僅在這些情況下”。
英語縮寫iff
在出版物中，英語iff的表示標記最早出現在約翰·L·凱利的《一般拓撲學》中。它的發明通常被認為是歸於數學家保羅·哈爾莫斯，但在哈爾莫斯的自傳中卻聲明該標記另有出處，他只是首先在數學領域使用。
與“當”的不同
簡單地，如下的兩個例子可以說明這兩者的不同：
- 當冰淇淋是香草口味的，小王會吃這個冰淇淋。（這等於說：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王會吃這個冰淇淋。）
- 若且唯若冰淇淋是香草口味，小王會吃這個冰淇淋。（這等於說：如果冰淇淋是香草口味的，那么小王會吃這個冰淇淋；並且，如果小王吃冰淇淋，那么這個冰淇淋就是香草口味的。）
第1句只是說小王會吃香草口味的冰淇淋。但是這並沒有排除他還會吃香草以外口味冰淇淋的可能性。可能他會吃，可能不會。這個句子並沒有告訴我們。我們所能夠肯定的是他不會拒絕香草口味的冰淇淋。
但是第2句闡述的非常明確，就是小王會吃並且只吃香草口味的。他不會吃任何其它口味的冰淇淋。
進一步的思考
用“若且唯若”連線兩個句子造成的句子被稱為是“雙條件句”。“若且唯若”把兩個句子結合成新的句子。它不應該跟描述兩個句子之間關係的“邏輯等價”混淆。
雙條件句“A若且唯若B”，是用“A”和“B”來陳述A和B所描述的事件狀況之間的關係。
相對照的，“A邏輯等價於B”則注重兩個句子：它只是陳述兩個句子之間的關係，而不是它們所介紹的什麼事情。
這裡的區別非常容易混淆，已經使得很多哲學家迷惑。當然，在“A”邏輯等價於“B”的時候，“A”若且唯若“B”為真，但是它的逆並不成立。讓我們重新考慮上面的句子：
- 小王今天要吃冰淇淋若且唯若它是香草口味的。
很清楚，對於這個特定的雙條件句，兩個半句之間並沒有邏輯等價。如想了解更多的差異，請參照W. V. Quine的《數理邏輯，第5節》。
在哲學和邏輯學中，“若且唯若”通常用作定義，因為定義被認為是全稱量化的雙條件句。但在數學中，相比起“若且唯若”，如果通常被用於定義。這裡給出一些使用到“若且唯若的”真陳述，也是真雙條件句（第一句是一個定義的例子）：
一個人是單身男性若且唯若他是一個未婚的而且是可結婚的男人。
x+1=2若且唯若x=1。
對於任意的A,B, 和C：(A&B) &C若且唯若A& (B&C)。（因為這句句子是用變數和&的形式來寫得，陳述也通常會使用“
”，或者其它用來寫雙條件句的符號，來代替“若且唯若”）
更一般的用法
“若且唯若”在邏輯領域以外，如同在數學出版物或者普通的談話中都會用到。如同上面所說，它指的是某個陳述是另外一個的充分必要條件。這是一個數學術語的例子。（即使如此，相比起“若且唯若”，“如果”一般多出現在定義的陳述中。）
