向量空間

向量空間又稱線性空間，是線性代數的中心內容和基本概念之一。在解析幾何里引入向量概念後，使許多問題的處理變得更為簡潔和清晰，在此基礎上的進一步抽象化，形成了與域相聯繫的向量空間概念。譬如，實係數多項式的集合在定義適當的運算後構成向量空間，在代數上處理是方便的。單變元實函式的集合在定義適當的運算後，也構成向量空間，研究此類函式向量空間的數學分支稱為泛函分析。

向量空間它的理論和方法在科學技術的各個領域都有廣泛的套用。

基本介紹

• 中文名：向量空間
• 外文名：Vector space
• 別稱：線性空間、矢量空間
• 所屬科目：線性代數
• 基本對象：向量，線性變換
• 數學分支：泛函分析

詳細定義

向量空間亦稱線性空間。它是線性代數的中心內容和基本概念之一。設V是一個非空集合，P是一個域。若：

1.在V中定義了一種運算，稱為加法，即對V中任意兩個元素α與β都按某一法則對應於V內惟一確定的一個元素α+β，稱為α與β的和。

2.在P與V的元素間定義了一種運算，稱為純量乘法(亦稱數量乘法)，即對V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法則對應V內惟一確定的一個元素kα，稱為k與α的積。

3.加法與純量乘法滿足以下條件：

1) α+β=β+α，對任意α，β∈V.

2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，對任意α，β，γ∈V.

3) 存在一個元素0∈V，對一切α∈V有α+0=α，元素0稱為V的零元.

4) 對任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β稱為α的負元素，記為-α.

5) 對P中單位元1，有1α=α(α∈V).

6) 對任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).

7) 對任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.

8) 對任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，

則稱V為域P上的一個線性空間，或向量空間。V中元素稱為向量，V的零元稱為零向量，P稱為線性空間的基域.當P是實數域時，V稱為實線性空間.當P是複數域時，V稱為複線性空間。例如，若V為三維幾何空間中全體向量(有向線段)構成的集合，P為實數域R，則V關於向量加法(即平行四邊形法則)和數與向量的乘法構成實數域R上的線性空間。又如，若V為數域P上全體m×n矩陣組成的集合M_mn(P)，V的加法與純量乘法分別為矩陣的加法和數與矩陣的乘法，則M_mn(P)是數域P上的線性空間.V中向量就是m×n矩陣。再如，域P上所有n元向量(a₁，a₂，…，a_n)構成的集合P對於加法：(a₁，a₂，…，a_n)+(b₁，b₂，…，b_n)=(a₁+b₁，a₂+b₂，…，a_n+b_n)與純量乘法：λ(a₁，a₂，…，a_n)=(λa₁，λa₂，…，λa_n)構成域P上的線性空間，稱為域P上n元向量空間。

線性空間是在考察了大量的數學對象(如幾何學與物理學中的向量，代數學中的n元向量、矩陣、多項式，分析學中的函式等)的本質屬性後抽象出來的數學概念，近代數學中不少的研究對象，如賦范線性空間、模等都與線性空間有著密切的關係。它的理論與方法已經滲透到自然科學、工程技術的許多領域。哈密頓(Hamilton，W.R.)首先引進向量一詞，並開創了向量理論和向量計算。格拉斯曼(Grassmann，H.G.)最早提出多維歐幾里得空間的系統理論。1844—1847年，他與柯西(Cauchy，A.-L.)分別提出了脫離一切空間直觀的、成為一個純粹數學概念的、抽象的n維空間。特普利茨(Toeplitz，O.)將線性代數的主要定理推廣到任意域上的一般的線性空間中。

公理化定義

設F是一個域。一個F上的向量空間是一個集合V的兩個運算：

向量加法: V + V → V, 記作 v + w, ∃ v, w∈V

標量乘法: F × V → V, 記作 a·v, ∃a∈F, v∈V

符合下列公理 (∀ a, b ∈ F 及 u, v, w ∈ V)：

1. 向量加法結合律：u + (v + w) = (u + v) + w；
2. 向量加法交換律：v + w = w + v；
3. 向量加法的單位元：V 里有一個叫做零向量的 0，∀ v ∈ V , v + 0 = v；
4. 向量加法的逆元素：∀v∈V, ∃w∈V，使得 v + w = 0；
5. 標量乘法分配於向量加法上：a(v + w) = a v + a w；
6. 標量乘法分配於域加法上: (a + b)v = a v + b v；
7. 標量乘法一致於標量的域乘法: a(b v) = (ab)v；
8. 標量乘法有單位元: 1 v = v, 這裡 1 是指域 F 的乘法單位元。

有些教科書還強調以下兩個公理：

V 閉合在向量加法下：v + w ∈ V

V 閉合在標量乘法下：a v ∈ V

更抽象的說，一個F上的向量空間是一個F-模。V的成員叫作向量，而F的成員叫作標量。若F是實數域R，V稱為實向量空間；若F是複數域C，V稱為復向量空間；若F是有限域，V稱為有限域向量空間；對一般域F，V稱為F-向量空間。

首4個公理是說明向量V在向量加法中是個阿貝爾群，餘下的4個公理套用於標量乘法。

以下都是一些很容易從向量空間公理推展出來的特性：

• 零向量0 ∈ V（公理3）是唯一的
• a 0 = 0，∀ a ∈ F
• 0 v = 0，∀ v ∈ V，這裡 0 是F的加法單位元
• a v = 0 ，則可以推出要么 a = 0 ，要么 v = 0
• v的加法逆元（公理4）是唯一的（寫成−v），這兩個寫法v − w 及 v + (−w) 都是標準的
• (−1)v = −v，∀ v ∈ V
• (−a)v = a(−v) = −(av)，∀ a ∈ F ，∀ v ∈ V

線性無關

如果V是一個線性空間，如果存在不全為零的係數c₁, c₂, ..., c_n∈F，使得c₁v₁+ c₂v₂+ ... + c_nv_n= 0，那么其中有限多個向量v₁, v₂, ..., v_n稱為線性相關的.

反之，稱這組向量為線性無關的。更一般的，如果有無窮多個向量，我們稱這無窮多個向量是線性無關的，如果其中任意有限多個都是線性無關的。

子空間

設W為向量空間 V 的一個非空子集，若W在 V 的加法及標量乘法下是封閉的，且零向量0 ∈ W，就稱W為 V 的線性子空間。

給出一個向量集合 B，那么包含它的最小子空間就稱為它的擴張，記作 span(B)。另外可以規定空集的擴張為{0}。

給出一個向量集合 B，若它的擴張就是向量空間 V， 則稱 B 為 V 的生成集合。

給出一個向量集合 B，若B是線性無關的，且B能夠生成V，就稱B為V的一個基。若 V={0}，唯一的基是空集。對非零向量空間 V，基是 V 最小的生成集，也是極大線性無關組。

如果一個向量空間 V 擁有一個元素個數有限的生成集，那么就稱 V 是一個有限維空間。向量空間的所有基擁有相同基數，稱為該空間的維度。例如，實數向量空間：R⁰, R¹, R², R³, …中， Rⁿ 的維度就是 n。

空間內的每個向量都有唯一的方法表達成基中向量的線性組合。而且，將基中向量進行排列，表示成有序基，每個向量便可以坐標系統來表示。

線性映射

若 V 和 W 都是域F上的向量空間，可以設定由V到W的線性變換或“線性映射”。這些由V到W的映射都有共同點，就是它們保持總和及標量商數。這個集合包含所有由V到W的線性映射，以 L(V, W) 來描述，也是一個域F上的向量空間。當 V 及 W 被確定後，線性映射可以用矩陣來表達。

同構是一對一的一張線性映射。如果在V 和W之間存在同構，我們稱這兩個空間為同構；域F上每一n維向量空間都與向量空間F同構。

一個在F場的向量空間加上線性映射就可以構成一個範疇，即阿貝爾範疇。

額外結構

研究向量空間很自然涉及一些額外結構。額外結構如下：

一個實數或複數向量空間加上長度概念。就是範數稱為賦范向量空間。

一個實數或複數向量空間加上長度和角度的概念，稱為內積空間。

一個向量空間加上拓撲學符合運算的（加法及標量乘法是連續映射）稱為拓撲向量空間。

一個向量空間加上雙線性運算元（定義為向量乘法）是個域代數。