賦范線性空間

賦范線性空間(normed linear space)是線上性空間中引進一種與代數運算相聯繫的度量，即由向量範數誘導出的度量。賦范線性空間稱為Banach空間，是指由範數導出的度量是完備的。

基本介紹

• 中文名：賦范線性空間
• 外文名：normed linear space
• 套用學科：數學術語
• 範疇：數理科學
• 定義：由向量範數誘導出的度量
• 涉及：Banach空間

概念

賦范線性空間(normed linear space)是線上性空間中引進一種與代數運算相聯繫的度量，即由向量範數誘導出的度量。賦范線性空間稱為Banach空間，是指由範數導出的度量是完備的。

定義：設是線性空間，函式稱為上定義的一個範數，如果滿足：

（1）若且唯若；

（2）對任何及，；

（3）對任意，。

稱二元體為賦范線性空間。

在是賦范線性空間時，由範數導出的度量為

此時在此度量意義稱為度量空間。所以，賦范線性空間是一種特殊的度量空間。點列收斂於，即，有時稱這種收斂為依範數收斂。

性質

性質1：設是賦范線性空間，⊂，，若，則是有界點列。

證：，對，存在自然數，當時，。於是

令，那么對一切自然數，均有，即有界。證畢。

性質2：設中點列，及數域中數列滿足，則

（1）加法連續：，即；

（2）數乘連續：，即。

證：（1）由，得。

（2）因，由性質1，有界，所以存在常數，滿足。於是

故。證畢。