矩陣範數

矩陣範數

矩陣範數（matrix norm）是數學中矩陣論、線性代數、泛函分析等領域中常見的基本概念，是將一定的矩陣空間建立為賦范向量空間時為矩陣裝備的範數。套用中常將有限維賦范向量空間之間的映射以矩陣的形式表現，這時映射空間上裝備的範數也可以通過矩陣範數的形式表達。

矩陣範數卻不存在公認唯一的度量方式。

基本介紹

  • 中文名：矩陣範數
  • 外文名：matrix norm
  • 別名：相容範數
  • 規定：必須滿足相容性
  • 性質：正定性，齊次性和三角不等式
  • 套用學科：數學
定義,擴展,誘導範數,非誘導範數,酉不變範數,範數的等價,等價,例子,

定義

一個在
的矩陣上的矩陣範數(matrix norm)是一個從
線性空間到實數域上的一個函式，記為||
||，它對於任意的
矩陣A和B及所有實數a，滿足以下四條性質：
  1. ||A||>=0;
  2. ||A||=0 iff A=O （零矩陣）; （1和2可統稱為正定性）
  3. ||aA||=|a| ||A||; （齊次性）
  4. ||A+B||<= ||A|| + ||B||. （三角不等式）
在一些教科書上定義的矩陣範數是對於
階矩陣的，這種定義往往要求矩陣滿足相容性，即
5.||AB||<=||A|| ||B||. （相容性）
在本文中，對於矩陣範數的定義僅要求前4條性質，而滿足第5個性質的矩陣範數稱為服從乘法範數（sub-
multiplicative norm）
一般來講矩陣範數除了正定性，齊次性和三角不等式之外，還規定其必須滿足相容性：║XY║≤║X║║Y║。所以矩陣範數通常也稱為相容範數。　如果║·║α是相容範數，且任何滿足║·║β≤║·║α的範數║·║β都不是相容範數，那么║·║α稱為極小範數。對於n階實方陣(或複方陣)全體上的任何一個範數║·║，總存在唯一的實數k>0，使得k║·║是極小範數。
註：如果不考慮相容性，那么矩陣範數和向量範數就沒有區別，因為m*n矩陣全體和m*n維向量空間同構。引入相容性主要是為了保持矩陣作為線性運算元的特徵，這一點和運算元範數的相容性一致，並且可以得到Mincowski定理以外的信息。

擴展

誘導範數

把矩陣看作線性運算元，那么可以由向量範數誘導出矩陣範數　║A║ = max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0} ，它自動滿足對向量範數的相容性　║Ax║ ≤ ║A║║x║，　並且可以由此證明　║AB║ ≤ ║A║║B║。
註：1.上述定義中可以用max代替sup是因為有限維空間的單位閉球是緊的(有限開覆蓋定理)，從而上面的連續函式可以取到最值。
2.顯然，單位矩陣的運算元範數為1。
常用的三種p-範數誘導出的矩陣範數是：
1-範數：║A║1 = max{ ∑|ai1|, ∑|ai2| ,…… ,∑|ain| } (列和範數，A每一列元素絕對值之和的最大值)　(其中∑|ai1|第一列元素絕對值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其餘類似)；
2-範數：║A║2 = A的最大奇異值 = ( max{ λi(A^H*A) } ) ^{1/2} (歐幾里德範數,譜範數,即A^H*A特徵值λi中最大者λ1的平方根，其中A^H為A的轉置共軛矩陣)；
∞-範數：║A║∞ = max{ ∑|a1j|, ∑|a2j| ,..., ∑|amj| } (行和範數，A每一行元素絕對值之和的最大值)　(其中為∑|a1j| 第一行元素絕對值的和，其餘類似)；
其它的p-範數則沒有很簡單的表達式。
對於p-範數而言，可以證明║A║p=║A^H║q，其中p和q是共軛指標。
簡單的情形可以直接驗證：║A║1=║A^H║∞，║A║2=║A^H║2，一般情形則需要利用║A║p=max{y^H*A*x：║x║p=║y║q=1}。

非誘導範數

有些矩陣範數不可以由向量範數來誘導，比如常用的Frobenius範數(也叫Euclid範數，簡稱F-範數或者E-範數)：║A║F= ( ∑∑ aij^2 )^1/2 (A全部元素平方和的平方根)。容易驗證F-範數是相容的，但當min{m,n}>1時F-範數不能由向量範數誘導(||E11+E22||F=2>1)。可以證明任一種矩陣範數總有與之相容的向量範數。例如定義　║x║=║X║，其中X=[x,x,…,x]是由x作為列的矩陣。由於向量的F-範數就是2-範數，所以F-範數和向量的2-範數相容。
另外還有以下結論：　║AB║F <= ║A║F ║B║2 以及 ║AB║F <= ║A║2 ║B║F
1、矩陣的譜半徑和範數的關係
定義：A是n階方陣，λi是其特徵值，i=1,2,…,n。則稱特徵值的絕對值的最大值為A的譜半徑，記為ρ(A)。　注意要將譜半徑與譜範數(2-範數)區別開來，譜範數是指A的最大奇異值，即A^H*A最大特徵值的算術平方根。譜半徑是矩陣的函式，但不是矩陣範數。
2、譜半徑和範數的關係是以下幾個結論：
定理1：譜半徑不大於矩陣範數，即ρ(A)≤║A║。
因為任一特徵對λ,x,Ax=λx，可得Ax=λx。兩邊取範數並利用相容性即得結果。
定理2：對於任何方陣A以及任意正數e，存在一種矩陣範數使得║A║<ρ(A)+e。
定理3(Gelfand定理)：ρ(A)=lim_{k->∞} ║A^k║^{1/k}。
利用上述性質可以推出以下兩個常用的推論：
推論1：矩陣序列 I,A,A^2,…A^k,… 收斂於零的充要條件是ρ(A)<1。
推論2：級數 I+A+A^2+... 收斂到(I-A)^{-1}的充要條件是ρ(A)<1。

酉不變範數

定義：如果範數║·║滿足║A║=║UAV║對任何矩陣A以及酉矩陣U,V成立，那么這個範數稱為酉不變範數。　容易驗證，2-範數和F-範數是酉不變範數。因為酉變換不改變矩陣的奇異值，所以由奇異值得到的範數是酉不變的，比如2-範數是最大奇異值，F-範數是所有奇異值組成的向量的2-範數。　反過來可以證明，所有的酉不變範數都和奇異值有密切聯繫：　定理(Von Neumann定理)：在酉不變範數和對稱度規函式(symmetric gauge function)之間存在一一對應關係。　也就是說任何酉不變範數事實上就是所有奇異值的一個對稱度規函式。

範數的等價

等價

對任何兩個向量範數||·||αand ||·||β，我們有
對某個正數r與s，
中所有矩陣A成立。換句話說，它們是等價的範數；它們在
上誘導了相同的拓撲。
此外，當
，則對任何向量範數 ||·||，存在惟一一個正數k使得k||A|| 是一個（服從乘法）矩陣範數。
一個矩陣範數||·||α稱為“極小的”，如果不存在其它矩陣範數||·||β滿足||·||β≤||·||α。

例子

對矩陣
如下不等式成立：
這裡，||·||p表示由向量p-範數誘導的矩陣範數。
向量範數之間另一個有用的不等式是
。

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