拓撲

拓撲是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的一個學科。它只考慮物體間的位置關係而不考慮它們的形狀和大小。

拓撲英文名是Topology，直譯是地誌學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數學分支，它屬於幾何學的範疇。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了。那時候發現的一些孤立的問題，在後來的拓撲學的形成中占著重要的地位。

基本介紹

• 中文名：拓撲
• 外文名：Topology
• 提出時間：十九世紀
• 適用領域範圍：集合、幾何、分析
• 定義：物體間的位置關係
• 譯名：地誌學
• 套用領域：物理學、機器人、美術等

簡介

拓撲是集合上的一種結構。設T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：

1.X與空集都屬於T;

2.T中任意兩個成員的交屬於T;

3.T中任意多個成員的並屬於T;

則T稱為X上的一個拓撲。具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T)。

設T₁與T₂為集合X上的兩個拓撲。若有關係T₁T₂，則稱T₁粗於T₂，或T₂細於T₁。當X上的兩個拓撲相互之間沒有包含關係時，則稱它們是不可比較的。在集合X上，離散拓撲是最細的拓撲，平凡拓撲是最粗的拓撲。

數學術語

公理

設X是一個非空集合，X的冪集的子集（即是X的某些子集組成的集族）T稱為X的一個拓撲。若且唯若：

1．X和空集{}都屬於T；

2．T中任意多個成員的並集仍在T中；

3．T中有限多個成員的交集仍在T中。

稱集合X連同它的拓撲τ為一個拓撲空間，記作（X,T）。

稱T中的成員為這個拓撲空間的開集。

定義中的三個條件稱為拓撲公理。（條件（3）可以等價的換為τ中兩個成員的交集仍在τ中。）

從定義上看，給出某集合的一個拓撲就是規定它的哪些子集是開集。這些規定不是任意的，必須滿足三條拓撲公理。

一般說來，一個集合上可以規定許多不相同的拓撲，因此說到一個拓撲空間時，要同時指明集合及所規定的拓撲。在不引起誤解的情況下，也常用集合來代指一個拓撲空間，如拓撲空間X，拓撲空間Y等。

同時，在拓撲範疇中，我們討論連續映射。定義為：f: (X,T1) ------> (Y,T2) （T1,T2是上述定義的拓撲）是連續的若且唯若開集的原像是開集。兩個拓撲空間同胚若且唯若存在一一對應的互逆的連續映射。同時，映射同倫和空間同倫等價也是很有用的定義。

例子

1．歐幾里德空間在通常開集的意義下是拓撲空間，它的拓撲就是所有開集組成的集合。

2．設X是一個非空集合。則集合t：{X,{}}是X的一個拓撲。稱t為X的平凡拓撲。顯然（X,t）只有兩個開集，X和{}。

3．設X是一個非空集合。則X的冪集T=2^X也是X的一個拓撲。稱T為X的離散拓撲。顯然X的任意子集都是(X,T)的開集。

4．一個具體的例子。設X={1，2}。則{X,{},{1}}是X的一個拓撲，{X,{},{2}}也是拓撲，{X,{},{1},{2}}是拓撲（由定義可知).

由來

1.哥尼斯堡七橋問題

在數學上，關於哥尼斯堡七橋問題、多面體歐拉定理、四色問題等都是拓撲學發展史的重要問題。哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。十八世紀在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個島和河岸聯結起來。人們閒暇時經常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最後又回到原來的位置。這個看起來很簡單又很有趣的問題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰也沒有做到。看來要得到一個明確、理想的答案還不那么容易。

哥尼斯堡七橋問題

1736年，有人帶著這個問題找到了當時的大數學家歐拉，歐拉經過一番思考，很快就用一種獨特的方法給出了解答。歐拉把這個問題首先簡化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個點，而把七座橋看作這四個點之間的連線。那么這個問題就簡化成，能不能用一筆就把這個圖形畫出來。經過進一步的分析，歐拉得出結論——不可能每座橋都走一遍，最後回到原來的位置。並且給出了所有能夠一筆畫出來的圖形所應具有的條件。這是拓撲學的“先聲”。

2.多面體的歐拉定理

在拓撲學的發展歷史中，還有一個著名而且重要的關於多面體的定理也和歐拉有關。這個定理內容是：如果一個凸多面體的頂點數是v、棱數是e、面數是f，那么它們總有這樣的關係：f+v-e=2。

根據多面體的歐拉定理，可以得出這樣一個有趣的事實：只存在五種正多面體。

它們是正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。

3.四色猜想

著名的“四色問題”也是與拓撲學發展有關的問題。四色問題又稱四色猜想，是世界近代三大數學難題之一。　四色猜想的提出來自英國。1852年，畢業於倫敦大學的弗南西斯·格思里來到一家科研單位搞地圖著色工作時，發現了一種有趣的現象：“看來，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家都被著上不同的顏色。”

1872年，英國當時最著名的數學家凱利正式向倫敦數學學會提出了這個問題，於是四色猜想成了世界數學界關注的問題。世界上許多一流的數學家都紛紛參加了四色猜想的大會戰。1878～1880年兩年間，著名律師兼數學家肯普和泰勒兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理。但後來數學家赫伍德以自己的精確計算指出肯普的證明是錯誤的。不久，泰勒的證明也被人們否定了。於是，人們開始認識到，這個貌似容易的題目，其實是一個可與費馬猜想相媲美的難題。

進入20世紀以來，科學家們對四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進行。電子計算機問世以後，由於演算速度迅速提高，加之人機對話的出現，大大加快了對四色猜想證明的進程。1976年，美國數學家阿佩爾與哈肯在美國伊利諾斯大學的兩台不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億次判斷，終於完成了四色定理的證明。不過不少數學家並不滿足於計算機取得的成就，他們認為應該有一種簡捷明快的書面證明方法。

上面的幾個例子所講的都是一些和幾何圖形有關的問題，但這些問題又與傳統的幾何學不同，而是一些新的幾何概念。這些就是“拓撲學”的先聲。

定義

拓撲學的英文名是Topology，直譯是地誌學，也就是和研究地形、地貌相類似的有關學科。中國早期曾經翻譯成“形勢幾何學”、“連續幾何學”、“一對一的連續變換群下的幾何學”，但是，這幾種譯名都不大好理解，1956年統一的《數學名詞》把它確定為拓撲學，這是按音譯過來的。

拓撲學是幾何學的一個分支，但是這種幾何學又和通常的平面幾何、立體幾何不同。通常的平面幾何或立體幾何研究的對象是點、線、面之間的位置關係以及它們的度量性質。拓撲學對於研究對象的長短、大小、面積、體積等度量性質和數量關係都無關。

舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那么這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學裡所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學裡沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數。

性質

拓撲的中心任務是研究拓撲性質中的不變性。

拓撲性質有那些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的一個拓撲性質。

在拓撲學裡不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，儘管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。在一個球面上任選一些點用不相交的線把它們連線起來，這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓撲變換下，點、線、塊的數目仍和原來的數目一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對於任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變換，就存在拓撲等價。

應該指出，環面不具有這個性質。構想，把環面切開，它不至於分成許多塊，只是變成一個彎曲的圓桶形，對於這種情況，我們就說球面不能拓撲的變成環面。所以球面和環面在拓撲學中是不同的曲面。

直線上的點和線的結合關係、順序關係，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質。在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質也是拓撲性質。

我們通常講的平面、曲面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。但德國數學家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發現了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來塗滿兩個側面。

莫比烏斯帶

公元1858年，莫比烏斯發現：把一個扭轉180°後再兩頭粘接起來的紙條具有魔術般的性質。因為，普通紙帶具有兩個面（即雙側曲面），一個正面，一個反面，兩個面可以塗成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面（即單側曲面），一隻小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣！我們把這種由莫比烏斯發現的神奇的單面紙帶，稱為“莫比烏斯帶”。

拿一張白的長紙條，把一面塗成黑色，然後把其中一端翻一個身，如同右圖那樣粘成一個莫比烏斯帶。像圖中那樣用剪刀沿紙帶的中央把它剪開。你就會驚奇地發現，紙帶不僅沒有一分為二，反而像圖中那樣剪出一個兩倍長的紙圈！

有趣的是：新得到的這個較長的紙圈，本身卻是一個雙側曲面，它的兩條邊界自身雖不打結，但卻相互套在一起！為了讓讀者直觀地看到這一不太容易想像出來的事實，我們可以把上述紙圈，再一次沿中線剪開，這回可真的一分為二了！得到的是兩條互相套著的紙圈，而原先的兩條邊界，則分別包含於兩條紙圈之中，只是每條紙圈本身並不打結罷了。

比如旋轉三個半圈的帶子再剪開後會形成一個三葉結。剪開帶子之後再進行旋轉，然後重新貼上則會變成數個Paradromic。

莫比烏斯帶常被認為是無窮大符號“∞”的創意來源，因為如果某個人站在一個巨大的莫比烏斯帶的表面上沿著他能看到的“路”一直走下去，他就永遠不會停下來。但是這是一個不真實的傳聞，因為“∞”的發明比莫比烏斯帶還要早。

莫比烏斯帶還有更為奇異的特性。一些在平面上無法解決的問題，卻不可思議地在莫比烏斯帶上獲得了解決！

比如在普通空間無法實現的手套易位問題：人左右兩手的手套雖然極為相像，但卻有著本質的不同。我們不可能把左手的手套貼切地戴到右手上去；也不能把右手的手套貼切地戴到左手上來。無論你怎么扭來轉去，左手套永遠是左手套，右手套也永遠是右手套！不過，倘若自你把它搬到莫比烏斯帶上來，那么解決起來就易如反掌了。

在自然界有許多物體也類似於手套那樣，它們本身具備完全相像的對稱部分，但一個是左手系的，另一個是右手系的，它們之間有著極大的不同。

“莫比烏斯帶”在生活和生產中已經有了一些用途。例如，用皮帶傳送的動力機械的皮帶就可以做成“莫比烏斯帶”狀，這樣皮帶就不會只磨損一面了。如果把錄音機的磁帶做成“莫比烏斯帶”狀，就不存在正反兩面的問題了，磁帶就只有一個面了。

橡皮幾何學

莫比烏斯帶是一種拓撲圖形，什麼是拓撲呢？拓撲所研究的是幾何圖形的一些性質，它們在圖形被彎曲、拉大、縮小或任意的變形下保持不變，只要在變形過程中不使原來不同的點重合為同一個點，又不產生新點。換句話說，這種變換的條件是：在原來圖形的點與變換了圖形的點之間存在著一一對應的關係，並且鄰近的點還是鄰近的點。這樣的變換叫做拓撲變換。拓撲有一個形象說法——橡皮幾何學。因為如果圖形都是用橡皮做成的，就能把許多圖形進行拓撲變換。例如一個橡皮圈能變形成一個圓圈或一個方圈。但是一個橡皮圈不能由拓撲變換成為一個阿拉伯數字8。因為不把圈上的兩個點重合在一起，圈就不會變成8,“莫比烏斯帶”正好滿足了上述要求。拓撲變換的不變性、不變數還有很多，這裡不再介紹。

拓撲學

拓撲學建立後，由於其它數學學科的發展需要，它也得到了迅速的發展。特別是黎曼創立黎曼幾何以後，他把拓撲學概念作為分析函式論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。

二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關於任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以套用集合來論述。

因為大量自然現象具有連續性，所以拓撲學具有廣泛聯繫各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結構，從而掌握空間之間的函式關係。二十世紀三十年代以後，數學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究曲線、曲面等在一點附近的彎曲情況，而拓撲學是研究曲面的全局聯繫的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質的聯繫。1945年，美籍中國數學家陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯繫，並推進了整體幾何學的發展。

拓撲學發展到今天，在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重於用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重於用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。現在，這兩個分支又有統一的趨勢。

拓撲學在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程和其他許多數學分支中都有廣泛的套用。

美術術語

以3DSMAX軟體為例。創建對象和圖形後，將會為每個頂點和/或面指定一個編號。通常，這些編號是內部使用的，它們可以確定指定時間選擇的頂點或面。這種數值型的結構稱作拓樸。

選擇頂點或面，並對選擇對象套用修改器之後，該修改器堆疊將會記錄它影響的面/頂點。如果稍後返回到堆疊選擇層級，可以將該拓樸更改為套用該修改器。

術語拓樸參考了面和頂點的結構及其編號。

例如，通過仔細設定各種參數，可以使方框和圓柱體具有相同的頂點數。此後，您可能會認為，您可以使用該方框作為圓柱體的變形目標。但是，因為這兩個對象是使用大相逕庭的方法創建的，所以，這些對象頂點編號的順序將大不一樣。如果進行變形，會使每個帶有編號的頂點轉至變形目標上相應的位置。在這種情況下，即存在兩個拓樸結構大相逕庭的對象，如果從一個對象變形為另一個對象，會使該對象在變形時彎曲或內部外翻。

拓樸相關修改器可以對具有拓樸結構的顯式子對象執行選擇操作。對顯式頂點或面數執行操作或選擇的修改器包括“編輯格線”和“格線選擇”修改器。當堆疊中包含這些修改器時，如果訪問以前的堆疊操作，並更改向其傳遞的拓樸（面和頂點的數目和順序），可能會對結果產生負面影響。如果這樣做的話，拓樸相關警告會提示您注意這種情況。

簡單的說，所謂拓撲就是在原始基礎上進行模型的重新繪製，產生非常高效的模型。讓模型細節足夠而且面數非常少。有助於我們未來進行高級動畫的製作。不至於ZBrush產生的高精度模型不能用。

註：拓撲也稱拓樸

網路術語

釋義

計算機網路的拓撲結構是引用拓撲學中研究與大小，形狀無關的點、線關係的方法。把網路中的計算機和通信設備抽象為一個點，把傳輸介質抽象為一條線，由點和線組成的幾何圖形就是計算機網路的拓撲結構。網路的拓撲結構反映出網中各實體的結構關係，是建設計算機網路的第一步，是實現各種網路協定的基礎，它對網路的性能，系統的可靠性與通信費用都有重大影響。拓撲在計算機網路中即是指連線各結點的形式與方法。

把網路中的工作站和伺服器等網路單元抽象為“點”。網路中的電纜等抽象為“線”。影響網路性能、系統可靠性、通信費用。

分類

1.匯流排拓撲

匯流排拓撲結構是將網路中的所有設備通過相應的硬體接口直接連線到公共匯流排上，結點之間按廣播方式通信，一個結點發出的信息，匯流排上的其它結點均可“收聽”到。優點：結構簡單、布線容易、可靠性較高，易於擴充，是區域網路常採用的拓撲結構。缺點：所有的數據都需經過匯流排傳送，匯流排成為整個網路的瓶頸；出現故障診斷較為困難。最著名的匯流排拓撲結構是乙太網（Ethernet）。

2.星型拓撲

每個結點都由一條單獨的通信線路與中心結點連結。優點：結構簡單、容易實現、便於管理，連線點的故障容易監測和排除。缺點：中心結點是全網路的可靠瓶頸，中心結點出現故障會導致網路的癱瘓。

3.環形拓撲

各結點通過通信線路組成閉合迴路，環中數據只能單向傳輸。優點：結構簡單、容易實現，適合使用光纖，傳輸距離遠，傳輸延遲確定。缺點：環網中的每個結點均成為網路可靠性的瓶頸，任意結點出現故障都會造成網路癱瘓，另外故障診斷也較困難。最著名的環形拓撲結構網路是令牌環網（Token Ring）

4.樹型拓撲

是一種層次結構，結點按層次連結，信息交換主要在上下結點之間進行，相鄰結點或同層結點之間一般不進行數據交換。優點：連結簡單，維護方便，適用於匯集信息的套用要求。缺點：資源共享能力較低，可靠性不高，任何一個工作站或鏈路的故障都會影響整個網路的運行。

5.網狀拓撲

又稱作無規則結構，結點之間的聯結是任意的，沒有規律。優點：系統可靠性高，比較容易擴展，但是結構複雜，每一結點都與多點進行連結，因此必須採用路由算法和流量控制方法。目前廣域網基本上採用網狀拓撲結構。

物理學中的拓撲

在物理學中，拓撲在幾個領域被使用，如凝聚態物理學，量子場理論和物理宇宙學。

機械性能在固體中的拓撲依賴性在機械工程和材料科學學科中是令人感興趣的。電氣和機械性能取決於材料中分子和基本單元的布置和網路結構。研究了皺褶拓撲的抗壓強度，試圖了解這種主要是空白空間的結構的高強度重量。拓撲在接觸力學中具有重要意義，其中剛度和摩擦對表面結構的維數的依賴性是多體物理學中套用的關注點。

拓撲量子場理論（或拓撲場理論或TQFT）是計算拓撲不變數的量子場理論。

雖然TQFT是由物理學家發明的，但它們也具有數學興趣，其中包括結理論和代數拓撲中的四歧管理論，以及代數幾何中的模空間理論。唐納森，瓊斯，維滕和康泰維奇都獲得了與拓撲領域理論有關的領域獎章。

Calabi-Yau歧管的拓撲分類在弦理論中具有重要的意義，因為不同的歧管可以承受不同種類的弦。

在宇宙學中，拓撲可用於描述宇宙的整體形狀。這個區域被稱為時空拓撲。

機器人中的拓撲

機器人的各種可能的位置可以由稱為配置空間的歧管來描述。在運動規劃領域，可以在配置空間中找到兩點之間的路徑。這些路徑表示機器人的關節和其他部分進入所需位置和姿勢的運動。