基本介紹
- 中文名：扎里斯基拓撲
- 外文名：Zariski topology
- 領域：數學
- 套用：代數簇與概形研究
- 定義方式：指定空間中的閉子集
- 命名來源：美國數學家扎里斯基
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人物簡介
扎里斯基拓撲是美國數學家。生於俄國庫勃林，卒於美國坎布里奇。1918—1920年，就讀於基輔大學。1921年，到義大利比薩大學學習，半年後轉到羅馬大學，1924年獲博士學位。1924—1927年，留校做博士後研究。1927年，到美國約翰斯·霍普金斯大學任教，至1945年.1936年入美國籍。1946—1947年，任伊利諾伊大學研究教授。1947年起，任哈佛大學教授，1969年退休。943年，被選為美國全國科學院院士；1948年，被選為美國藝術與科學學院院士；1960—1961年，任美國數學會副主席，1969—1970年任主席。
扎里斯基的貢獻主要在代數幾何領域，特別是參與了重建代數幾何基礎的工作。早期研究代數、數論等，1927—1935年，轉而研究代數簇拓撲，特別是基本群。當時人們認為所有具固定個結點的固定度平面曲線屬於一個代數簇，但他發現了具有固定度和固定個奇點的曲線可能屬於若干個簇，並給出了例子。1939年，他給出了代數曲面奇點解消的純代數證明。1944年，他第一次證明了三維代數簇奇點的解消。他還引入了正規簇和簇的正規化概念，現已成為代數簇理論的基礎。1940年，他首次證明了任意維(特徵p=0)代數簇局部單值化的存在性，並導致他引入了在簇V上的拓撲，現稱為扎里斯基拓撲。他在1935年出版的專著《代數曲面》是他重建代數幾何的開始。他逐步把抽象代數思想引入了代數幾何，最終與范·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)和韋伊(Weil，A.)一起重建了代數幾何的基礎。他到哈佛大學以後，使該校成了世界代數幾何的中心。1944年曾獲美國數學會科爾獎，1965年獲美國國家科學獎章，1981年獲美國數學會斯蒂爾獎，並於1982年獲沃爾夫數學獎。他還著有《代數曲面理論引論》(1969)和其他一些專著。1972—1979年，出版了他的四卷本文集。
拓撲
簡介
拓撲是研究幾何圖形或空間在連續改變形狀後還能保持不變的一些性質的一個學科。它只考慮物體間的位置關係而不考慮它們的形狀和大小。
拓撲英文名是Topology，直譯是地誌學，最早指研究地形、地貌相類似的有關學科。幾何拓撲學是十九世紀形成的一門數學分支，它屬於幾何學的範疇。有關拓撲學的一些內容早在十八世紀就出現了。那時候發現的一些孤立的問題，在後來的拓撲學的形成中占著重要的地位。
定義
拓撲是集合上的一種結構。設T為非空集X的子集族。若T滿足以下條件：
1.X與空集都屬於T;
2.T中任意兩個成員的交屬於T;
3.T中任意多個成員的並屬於T;
則T稱為X上的一個拓撲。具有拓撲T的集合X稱為拓撲空間，記為(X，T)。
公理
1．X和空集{}都屬於T；
2．T中任意多個成員的並集仍在T中；
3．T中有限多個成員的交集仍在T中。
稱集合X連同它的拓撲τ為一個拓撲空間，記作（X,T）。
稱T中的成員為這個拓撲空間的開集。
定義中的三個條件稱為拓撲公理。（條件（3）可以等價的換為τ中兩個成員的交集仍在τ中。）
從定義上看，給出某集合的一個拓撲就是規定它的哪些子集是開集。這些規定不是任意的，必須滿足三條拓撲公理。
一般說來，一個集合上可以規定許多不相同的拓撲，因此說到一個拓撲空間時，要同時指明集合及所規定的拓撲。在不引起誤解的情況下，也常用集合來代指一個拓撲空間，如拓撲空間X，拓撲空間Y等。
同時，在拓撲範疇中，我們討論連續映射。定義為：f: (X,T1) ------> (Y,T2) （T1,T2是上述定義的拓撲）是連續的若且唯若開集的原像是開集。兩個拓撲空間同胚若且唯若存在一一對應的互逆的連續映射。同時，映射同倫和空間同倫等價也是很有用的定義。
扎里斯基拓撲
扎里斯基拓撲是代數簇與概形的研究中使用的一種拓撲。扎里斯基拓撲往往用指定空間中的閉子集的方式來定義。仿射空間A中的扎里斯基閉集就是某一族多項式的公共零點集。從A的扎里斯基拓撲就可誘導得代數簇的扎里斯基拓撲。對於一個仿射概形Spec A，把扎里斯基閉集取為：
V(I)={p∈Spec A|p屬於I}，
其中I是環A的一個理想。類似地即可得到概形的扎里斯基拓撲。扎里斯基拓撲是很弱的拓撲，因此有時在概形的研究中要使用更強的平展拓撲。當基域是複數域時，有時要使用通常的復拓撲。
套用
代數簇研究
設S是一個概型，φ是概型X到S的態射，則稱X是一個S-概型，如果S=SpecR，則稱X是一個R-概型。設f是概型X到Y的態射，如果△X/Y： X→XxYX，x→(x，x)是閉的浸入，則稱X在Y上可分，若Y=SpecR，則稱X是可分的。態射f：X→Y稱為有限型的，如果存在Y的仿射開覆蓋{Yλ|λ∈∧} 使得每個Xλ=f(Yλ) 可以被有限個仿射開子集覆蓋，而Xλj=SpecBλj，Yλ=SpecAλ每個Bλj是有限生成的Aλ代數。若X→SpecR是有限型的，則稱X是R-代數的。設k是一個代數閉域，V是一個整的，可分的在k上代數的k-概型，則我們稱V是k上的一個代數簇。設(X，φ)，(Y，φ)是S-概型，f： X→Y是態射，如果→f=φ，則稱f是S-態射。設X，Y是R-概型，令E={ (U，φ)|U是X的稠密開子集，φ：U→Y是R-態射}，在E上引入等價關係 (U，φ)～ (V，φ) 若且唯若對於U∩V的某個稠密開子集W，|w=Φ|W。E/～的元素稱為有理映射，若Y=SpecR[X]，則稱為有理函式，X上所有有理函式的集合記作RatR(X)。若V是域k上的代數簇，則RatR(V)稱為V的函式域。設f是X到Y的有理映射，如果存在(U，φ)∈f，使得φ(U)是Y的稠密子集，則稱f是控制的。設V，W是代數簇，f：V→W是控制的有理映射，如果存在有理映射g：W→V使得g◦f是恆等映射，則稱f是雙有理映射。V到V的所有雙有理映射作成一個群，稱為V的雙有理同構群。如果有V到W的雙有理映射，則稱V與W雙有理等價。一維的代數簇稱為曲線，二維的代數簇稱為曲面。曲面S上的曲線C是曲面S的一維閉子簇。
概形研究
所謂概形，是指代數幾何的基本研究對象。它實際上就是一個局部同構於仿射概形的局部環空間。更精確地，概形(X，OX)是一個環空間，其拓撲空間X有一個開覆蓋{Xi}i∈I，使得(Xi，OX|Xi)同構於仿射概形Spec Γ(Xi，OX)(這樣的覆蓋稱為仿射開覆蓋)。概形間的態射就是局部環空間的態射。概形的範疇是局部環空間範疇的子範疇。若概形X有一個仿射開覆蓋{Xi}，使得每個仿射概形都是諾特概形、既約概形、正規概形或正則概形，則相應地稱概形X是局部諾特的、既約的、正規的或正則的。這些性質都是概形的局部性質，就是說，只要存在一個仿射開覆蓋具有上述某種性質，這個概形就具有此性質，而且任意一個仿射開子概形都有此性質。若概形X的拓撲空間是連通空間或不可約空間(即它不能表成兩個不同真閉子集的並)，則稱此概形為連通的或不可約的。
在研究概形的性質或有關的概念時，往往要考慮具有相同基礎的概形。帶有態射f：X→S的概形X稱為S概形。若S=Spec A是仿射概形，則S概形簡稱A概形。顯然任何概形都是Z概形。給出基變換態射S′→S後，可以得到一個S′概形XS′=X×SS′，稱為S概形X的基擴張。與S概形相關的概念稱為相對概念，以區別於與概形相關的絕對概念。S概形與態射f：X→S密切相關。不同性質的態射就給出了不同的S概形。例如，設f：X→S是一個態射，若對角浸入X→X×SX是閉態射，則稱f是分離態射；若存在S的一個仿射開覆蓋{Ui}={Spec Bi}，使得每個f(Ui)都有一個有限仿射開覆蓋{Vij}={Spec Aij}，並且Aij都是有限生成Bi代數，則稱f是有限型的；若f(Ui)=Spec Ai，Ai都是有限生成Bi模，則稱f是有限態射。有限態射是仿射態射。代數幾何中研究的S概形一般都是分離、有限型的。
