基本群

這個概念最早是由龐加萊提出並加以研究。基本群的套用已經滲入到數學的各個分支。 著名的龐加萊猜想也和基本群有關。

基本介紹

• 中文名：基本群
• 實質：代數拓撲最基本的概念
• 提出者：龐加萊
• 相關：龐加萊猜想

基本群是代數拓撲最基本的概念。

一個拓撲空間中， 從一點出發並回到該點的閉合曲線，稱為該點的一個迴路。 如果一條迴路能夠連續地形變成另一條迴路（起始和終點不動），就稱這兩條路同倫等價。

我們把同倫的迴路看成是相同的東西。 對於給定的一點， 所有的過該點的迴路等價類全體形成一個集合。 這個集合具有加法性質， 即兩條迴路可以相加形成新的迴路。

這樣此集合形成了一個群， 稱為該點的基本群。如果拓撲空間是道路連通的， 那么這個基本群和選擇的起點無關，它只依賴於拓撲空間的幾何結構。

基本群是平凡群的空間稱為單連通的。可縮空間（就是可以連續收縮成一個點）和球面都是單連通的。

基本群到整數群的同態映射全體構成一個群，叫做1維同調群，它們是重要的拓撲不變數。