基本介紹
- 中文名：代數空間
- 外文名：algebraic space
- 領域：數學
- 引入者：阿廷
- 目的：彌補概形中函子不封閉的缺陷
- 定義：代數簇和概形概念的推廣
人物簡介,代數簇,概形,代數空間概念,
人物簡介
阿廷是一位代數學家。生於奧地利維也納。1916年在維也納大學學習了一個學期後加入步兵團;1919年進萊比錫大學繼續學習，1921年獲博士學位;隨即去格廷根大學一年;後到漢堡大學，1923年為不支薪講師，1925年升副教授，1926年升教授。1937年移居美國，先後在聖母大學和印第安那大學執教。1946—1958年執教普林斯頓大學。1958年回到漢堡大學。1962年因心力衰竭逝世。
阿廷被公認為現代抽象代數學的先驅。1923年，他在研究非阿貝爾L級數時提出廣義互易律猜想，並於1927年證明之，從而解決了希爾伯特第9問題。他還利用這個互易律把著名的希爾伯特主猜想歸結為純粹群論問題，後來被P·H·富特文格勒證明(1930)。1926年，他引進實域的概念，從而肯定地解決了希爾伯特第17問題：n個變數的正定有理式能否表示成有理式的平方和?1944年，他提出“阿廷環”的概念，這是現代代數學的基本概念之一。阿廷提出過許多著名猜想，給代數學研究以巨大的推動。例如他在20年代提出了函式域上的黎曼猜想(韋伊於1941年給予證明)，非阿貝爾L級數是亞純的(布饒爾於1947年證明)並且也有黎曼猜想的性質(至今尚未證明);30年代他猜測有限域是擬代數閉域(幾乎立即被謝瓦萊證明)等等。他還猜測如果一個單群的階g能夠被p>g整除，則這個群必屬於已知類型(被布饒爾等於1958年證明)。他對三維空間的紐結理論研究也有貢獻。
阿廷熱愛講授各級課程，范·德·瓦爾登的名著《代數學》就是根據他和E·諾特的講課記錄整理而成的。他的著作包括《伽羅瓦理論》(Galois Theo-ry， 1942)，《代數數與代數函式》(Algebraic Numbers andAlgebraic Functions， 1950)和《幾何代數》(Geometric Alge-bra， 1957)等。1965年，斯普林格出版社出版了阿廷的文集，其中包括了他的全部49篇論文。
代數簇
代數幾何的基本研究對象.設k是一個域，域k上的代數簇就是一個整的、分離、有限型k概形.這裡的基域k往往被取作代數閉域.若一個代數簇又是射影、擬射影、仿射或正常k概形，則把這個代數簇相應地稱為射影、擬射影、仿射、完備(代數)簇.射影簇必定是完備簇，反之則不然.永田定理斷言：對任意的代數簇X，必存在一個完備簇，使得X→是開浸入.代數簇的概念最早是在20世紀20年代由范·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)和諾特(Noether，E.)等提出的，以後又經過韋伊(Weil，A.)、塞爾(Serre，J.P.)等人的發展，直至格羅騰迪克(Grothendieck，A.)把它納入概形體系，才得到上述的現代定義.
設S是一個概型，φ是概型X到S的態射，則稱X是一個S-概型，如果S=SpecR，則稱X是一個R-概型。設f是概型X到Y的態射，如果△X/Y： X→XxYX，x→(x，x)是閉的浸入，則稱X在Y上可分，若Y=SpecR，則稱X是可分的。態射f：X→Y稱為有限型的，如果存在Y的仿射開覆蓋{Yλ|λ∈∧} 使得每個Xλ=f(Yλ) 可以被有限個仿射開子集覆蓋，而Xλj=SpecBλj，Yλ=SpecAλ每個Bλj是有限生成的Aλ代數。若X→SpecR是有限型的，則稱X是R-代數的。設k是一個代數閉域，V是一個整的，可分的在k上代數的k-概型，則我們稱V是k上的一個代數簇。設(X，φ)，(Y，φ)是S-概型，f： X→Y是態射，如果→f=φ，則稱f是S-態射。設X，Y是R-概型，令E={ (U，φ)|U是X的稠密開子集，φ：U→Y是R-態射}，在E上引入等價關係 (U，φ)～ (V，φ) 若且唯若對於U∩V的某個稠密開子集W，|w=Φ|W。E/～的元素稱為有理映射，若Y=SpecR[X]，則稱為有理函式，X上所有有理函式的集合記作RatR(X)。若V是域k上的代數簇，則RatR(V)稱為V的函式域。設f是X到Y的有理映射，如果存在(U，φ)∈f，使得φ(U)是Y的稠密子集，則稱f是控制的。設V，W是代數簇，f：V→W是控制的有理映射，如果存在有理映射g：W→V使得g◦f是恆等映射，則稱f是雙有理映射。V到V的所有雙有理映射作成一個群，稱為V的雙有理同構群。如果有V到W的雙有理映射，則稱V與W雙有理等價。一維的代數簇稱為曲線，二維的代數簇稱為曲面。曲面S上的曲線C是曲面S的一維閉子簇。
概形
代數幾何的基本研究對象.它實際上就是一個局部同構於仿射概形的局部環空間.更精確地，概形(X，OX)是一個環空間，其拓撲空間X有一個開覆蓋{Xi}i∈I，使得(Xi，OX|Xi)同構於仿射概形Spec Γ(Xi，OX)(這樣的覆蓋稱為仿射開覆蓋).概形間的態射就是局部環空間的態射.概形的範疇是局部環空間範疇的子範疇.若概形X有一個仿射開覆蓋{Xi}，使得每個仿射概形都是諾特概形、既約概形、正規概形或正則概形，則相應地稱概形X是局部諾特的、既約的、正規的或正則的.這些性質都是概形的局部性質，就是說，只要存在一個仿射開覆蓋具有上述某種性質，這個概形就具有此性質，而且任意一個仿射開子概形都有此性質.若概形X的拓撲空間是連通空間或不可約空間(即它不能表成兩個不同真閉子集的並)，則稱此概形為連通的或不可約的.
在研究概形的性質或有關的概念時，往往要考慮具有相同基礎的概形.帶有態射f：X→S的概形X稱為S概形.若S=Spec A是仿射概形，則S概形簡稱A概形.顯然任何概形都是Z概形.給出基變換態射S′→S後，可以得到一個S′概形XS′=X×SS′，稱為S概形X的基擴張.與S概形相關的概念稱為相對概念，以區別於與概形相關的絕對概念.S概形與態射f：X→S密切相關.不同性質的態射就給出了不同的S概形.例如，設f：X→S是一個態射，若對角浸入X→X×SX是閉態射，則稱f是分離態射;若存在S的一個仿射開覆蓋{Ui}={Spec Bi}，使得每個f(Ui)都有一個有限仿射開覆蓋{Vij}={Spec Aij}，並且Aij都是有限生成Bi代數，則稱f是有限型的;若f(Ui)=Spec Ai，Ai都是有限生成Bi模，則稱f是有限態射.有限態射是仿射態射.代數幾何中研究的S概形一般都是分離、有限型的.
