線性子空間（又稱向量子空間，簡稱子空間）是線性空間中部分向量組成的線性空間。設W是域P上的線性空間V的一個非空子集合，若對於V中的加法及域P與V的純量乘法構成域P上的一個線性空間，則稱W為V的線性子空間。
基本介紹
- 中文名：線性子空間
- 外文名：linear subspace
- 別名：向量子空間
- 簡稱：子空間
- 本質：還是一個線性空間
- 領域：線性代數
定義,舉例,性質,
定義
定義 設W是域P上的線性空間V的一個非空子集合，若對於V中的加法及域P與V的純量乘法構成域P上的一個線性空間，則稱W為V的線性子空間（或向量子空間），或簡稱子空間。
註：1.V的非空子集W是子空間的充分必要條件是：
（1）子集合W的任意兩個向量α與β之和α+β仍是W中的向量；
（2）域P的任一數k與子集合W的任意一個向量α的積kα仍是W中的向量。
2.線上性空間中，由單個的零向量所組成的子集合是一個線性子空間，它叫做零子空間。
3.線性空間V自身與單獨一個零向量都是V的線性子空間。這兩個特殊的子空間稱為V的平凡子空間；除平凡子空間外的線性子空間稱為V的非平凡子空間。
舉例
例1 設域是R，向量空間V是歐幾里得空間。 取W為最後的分量是 0 的V中所有向量的集合。則W是V的子空間。
證明：顯然W非空，且
- 給定W中u和v，它們可以表達為u= (u1,u2,0) 和v= (v1,v2,0)。則u+v= (u1+v1,u2+v2,0+0)= (u1+v1,u2+v2,0)。因此u+v也是W的元素。
- 給定W中u和R中標量c，如果u= (u1,u2,0)，則cu= (cu1,cu2,c0)= (cu1,cu2,0)。因此cu也 是W的元素。
例2 設域是R，向量空間V是是歐幾里得空間。取W為V的使得x=y的所有點 (x,y) 的集合。則W是R的子空間。
證明：顯然W非空，且
- 設p= (p1,p2) 且q= (q1,q2) 是W的元素，就是說，在平面上的點使得p1=p2且q1=q2。則p+q= (p1+q1,p2+q2)；因為p1=p2且q1=q2，則p1+q1=p2+q2，所以p+q是W的元素。
- 設p=(p1,p2) 是W的元素，就是在平面中點使得p1=p2，並設c是R中的標量。則cp= (cp1,cp2)；因為p1=p2，則cp1=cp2，所以cp是W的元素。
例3 在全體實函式組成的空間中，所有的實係數多項式組成一個子空間。
例4 P[x]n是（次數小於n的多項式全體）是線性空間P[x]的子空間。
性質
- 如果V1，V2是線性線性空間V的兩個子空間，那么它們的交V1∩V2也是V的子空間。
- 如果V1，V2是線性線性空間V的兩個子空間，那么它們的和V1+V2也是V的子空間。
- 設V1，V2，W都是子空間，有
4.對於子空間V1，V2以下三個論斷是等價的：
1）
2）
3）
5（維數公式）如果V1，V2是線性空間V的兩個子空間，那么：維（V1）+維（V2）=維（V1+V2）+維（V1∩V2）.
6.如果n維線性空間V中兩個子空間V1，V2的維數之和大於n，那么V1，V2必含有非零的公共向量。
7.設U是線性空間V的一個子空間，那么一定存在一個子空間W使V等於U與W的直和。
